Question

Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym wynosi 3 pierwiastek z 5 przez 5. oblicz iloczyn sinusów tych kątów.

Answer 1

Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym wynosi 3 pierwiastek z 5 przez 5. oblicz iloczyn sinusów tych kątów.

I sposób
Na podstawie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (patrz załącznik)
sinα = a/c
sinβ = b/c
sinα + sinβ = 3√5 / 5
a/c + b/c = 3√5 / 5
a + b / c = 3√5 / 5
(Podniesiemy tę równość stronami do kwadratu i skorzystamy z tw. Pitagorasa c² = a² + b²)
(a + b / c)² = (3√5 / 5)²
(a + b)² / c² = 9 * 5 / 25
a² + 2ab + b² / c² = ⁹/₅
a² + b² + 2ab / c² = ⁹/₅
c² + 2ab / c² = ⁹/₅
c² / c² + 2ab / c² = ⁹/₅
1 + 2ab /c² = ⁹/₅
2ab /c² = ⁹/₅ - 1
2ab /c² = ⁴/₅ /*½
ab /c² = ²/₅
a*b /c*c = ²/₅
a / c * b / c = ²/₅
sinα * sinβ = ²/₅

II sposób
sinα + sinβ = 3√5 / 5
sinα + sin (90° - α) = 3√5 / 5
sinα + cosα = 3√5 / 5
(Podniesiemy tę równość stronami do kwadratu i skorzystamy z jedynki trygonometrycznej: sin²α + cos²α = 1)
(sinα + cosα)² = (3√5 / 5)²
sin²α + 2sinα*cosα + cos²α = 9*5 / 25
sin²α + cos²α + 2sinα*cosα = 9 / 5
1 + 2sinα*cosα = ⁹/₅
2sinα*cosα = ⁹/₅ - 1
2sinα*cosα = ⁴/₅ /:2
sinα*cosα = ²/₅
sinα*cos(90° - β) = ²/₅
sinα*sinβ = ²/₅

odp. Iloczyn sinusów kątów ostrych wynosi ²/₅.