Question

Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego równa się 27, suma dwóch ostatnich wyrazów wynosi 105, a siódmy wyraz jest równy 30. Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu

Answer 1

Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa 27. Dzięki tej informacji możemy wyznaczyć wzór na rożnicę tego ciągu:

an=a₁+(n-1)*r

a₁-pierwszy wyraz ciągu

a₂=a₁+r

 

a₁+a₁+r=27

2a₁+r=27   /-2a₁

r=27-2a₁

 

Siódmy wyraz tego ciągu ma wartość równą 30. Dzięki tej informacji możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu:

an=a₁+(n-1)*r

 

a₇=30

a₇=a₁+6r  

 

a₁+6r=30

a₁+6(27-2a₁)=30

a₁+162-12a₁=30

-11a₁+162=30   /-162

-11a₁= -132       /:(-11)

a₁=12

Pierwszy wyraz tego ciągu ma wartość równą 12

 

Obliczamy wartość różnicy tego ciągu:

a₁=12

 

r=27-2a₁

r=27-2*12

r=27-24

r=3

 

Liczbę wyrazów tego obliczamy, korzystając z informacji, że suma dwóch ostatnich wyrazów tego ciągu jest równa 105. Ostatnim wyrazem ciągu jest wyraz an a przedostatnim wyrazem jest wyraz an₋₁:

a₁=12

r=3

 

an=a₁+(n-1)*r

an=12+(n-1)*3

an=12+3n-3

an=3n+9

 

an₋₁=a₁+((n-1)-1)*r

an₋₁=a₁+(n-2)*r

an₋₁=12+(n-2)*3

an₋₁=12+3n-6

an₋₁=3n+6

 

an+an₋₁=105

3n+9+3n+6=105

6n+15=105    /-15

6n=90            /:6

n=15

Ciąg ma 15 wyrazów

 

 

Answer 2

rozwiązanie w załączniku