Question

Suma długości wszystkich krawędzigraniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 42 cm, a pole jego powierzchni bocznej wynosi 72 cm kwadratowe. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy oraz środek przeciwległej krawedzi bocznej i, jako przekrój otrzymano trójkąt równoramienny. Oblicz cosinusy kątów tego trójkąta (rozpatrz 2 mozliwosci).


Błagam jak ktos to potrafi to niech zrobi, naprawde pilnie tego potrzebuje...... <prosi>

Answer 1

Mamy graniastosłup prawidłowy trójkątny
o krawędzi podstawy a i wysokości h.
Suma krawędzi 6a + 3h = 42 cm, stąd 2a + h = 14 cm
(3 krawędzie podstawy dolnej = 3a,
3 krawędzie podstawy górnej = 3a
i 3 krawędzie wysokości = 3h)
Pole powierzchni bocznej P = 3ah (suma 3 pól ścian bocznych - prostokątów o bokach a i h)
3ah = 72 cm² /: 3
ah = 24 cm²

Zatem mamy układ równań:
2a + h = 14
{
ah = 24
Obliczamy a i h rozwiązując układ równań:
h = 14 - 2a
{
a(14 - 2a) = 24 ( wstawiamy do drugiego równania za h wyrażenie 14 - 2a)
h = 14 - 2a
{
14a - 2a² = 24 /: (-2)

h = 14 - 2a
{
-7a + a² = -12

h = 14 - 2a
{
a²-7a +12 = 0 (rozwiązujemy równanie kwadratowe,
obliczamy deltę i pierwiastki równania: Δ = 49 - 4* 12 = 1
a₁ = (7 - 1)/2 = 6/2 = 3
a₂ = (7 + 1)/2 = 8/2 = 4

1)
h = 14 - 2a
{
a₁ = 3
lub
2)
h = 14 - 2a
{
a₂ = 4

1)
h= 14 - 2*3 = 8
{
a₁ = 3
lub
2)
h= 14 - 2*4 = 6
{
a₂ = 4

Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy oraz środek przeciwległej krawędzi bocznej
i w przekroju otrzymano trójkąt równoramienny.
Podstawa tego trójkąta jest równa a = 3cm lub a = 4cm.
Wyznaczamy ramiona trójkąta równoramiennego
(oznaczmy je r), korzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i ½h oraz przeciwprostokątnej r.
a² + (½h)² = r²
Wstawiamy dane:
1) h= 8cm i a = 3cm 3² + (½*8)² = r² 9 + 16 = r²
r²= 25 cm²
r = 5 cm
lub
2) h = 6cm i a = 4cm 4² + (½*6)² = r² 16 + 9 = r²
r²= 25 cm²
r = 5 cm

Mamy dwie możliwości:
1) trójkąt równoramienny o bokach 3 cm, 5 cm, 5 cm
2) trójkąt równoramienny o bokach 4 cm, 5 cm, 5 cm

Obliczamy cosinusy kątów
(korzystamy z tw. cosinusów c² = a² + b² - 2abcosγ):
1) w trójkącie o bokach a = 3 cm, r = 5 cm, r = 5 cm
3² = 5² + 5² - 2*5*5cosγ
9 = 25 + 25 - 50cosγ
50cosγ = 50 - 9 = 41/:50
cosγ = ⁴¹/₅₀

5² = 3² + 5² - 2*3*5cosβ
25 = 9 + 25 - 30cosβ
30cosβ = 34 - 25 = 9 /:30
cosβ = ⁹/₃₀ = ³/₁₀

5² = 3² + 5² - 2*3*5cosα
25 = 9 + 25 - 30cosα
cosα = ⁹/₃₀ = ³/₁₀

2) w trójkącie o bokach 4 cm, 5 cm, 5 cm
4² = 5² + 5² - 2*5*5cosγ
16 = 25 + 25 - 50cosγ
50cosγ = 50 - 16 = 34/:50
cosγ = ³⁴/₅₀ = ¹⁷/₂₅

5² = 4² + 5² - 2*4*5cosβ
25 = 16 + 25 - 40cosβ
40cosβ = 41 - 25 = 16 /:40
cosβ = ¹⁶/₄₀ = ⁴/₁₀

5² = 4² + 5² - 2*4*5cosα
25 = 16 + 25 - 40cosα
cosα = ¹⁶/₄₀ =⁴/₁₀