Question

Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi 3:8 a środkowa poprowadzona do dłuższej z nich ma długość 15.

a) oblicz długość przyprostokątnych trójkąta

b) oblicz odległość środka ciężkości trójkąta od dłuższej przyprostokątnej

Answer 1

Trójkąt oznaczam ABC, gdzie AB i AC - to przyprostokątne ( AB - dłuższa), kąt prosty przy wierzchołku A. Prowadzę środkową z wierzchołka C do środka boku AB, który oznaczam D. 

Dla uproszczenia zapisu oznaczam:  IABI=b, IACI =a.

Na podst. treści mamy: 

   ICDI = 15,  a:b = 3:8   czyli  a/b= ⅜  ⇒  a = ⅜b

   IADI = ½b

a)    Z ΔADC stosując tw. Pitagorasa mamy:

       a²+(½b)² = 15²

      (⅜b)² + ¼b² = 225

      9/64 b² + ¼b² = 225      /·64

     9b² +16b² = 225·64

       25b² = 225·64     /:25

         b² = 9·64   /√

         b = 3·8 = 24

          a = ⅜·24 = 9

     Odp.  Przyprostokątne mają długości 9 i 24.

b)   Z wierzchołka A prowadzę drugą środkową do środka boku BC.

      Srodkowa ta przecina środkową CD w punkcie S.

     Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie (tzw. środek ciężkości), który dzieli je w stosunku 1:2.  Zatem odcinek SD ma długość:

     ISDI = ⅓ ·ICDI = ⅓ · 15 = 5

 Z punktu S prowadzę odcinek prostopadły do boku AB, który jest szukaną odległością środka ciężkości od dłuższej przyprostokątnej. Koniec tego odcinka oznaczam E.

     ΔADC ~ ΔEDS   (trójkaty podobne na podstawie cechy kk)

   Stąd prawdziwa jest proporcja:

             AC      SE

           ------ = -----

             CD      SD

       9          SE

     ------  =  -----          ⇒   15 ·ISEI = 9·5      ⇒   15·ISEI = 45    /:15

      15          5                                                       ISEI = 3

 Odp. Odległość środka ciężkości od dłuższej przyprostokątnej jest równa 3.