Równanie różniczkowe zupełne/sprowadzalne do zupełnej.Mam problem ze znalezieniem czynnika całkujące.... Question from @sportluk

November 2018 1 27 Report

Równanie różniczkowe zupełne/sprowadzalne do zupełnej.

$2x y^{2} - y + (x+y+ y^{2}) \frac{dy}{dx} =0$

Mam problem ze znalezieniem czynnika całkującego. Każde z równań zależne jest od dwóch zmiennych. Proszę o pomoc.

Roma $2x y^2 - y + (x+y+ y^2) \frac{dy}{dx} =0 \ / \cdot dx \\\
(2x y^2 - y)dx + (x+y+ y^2) dy =0 \\\\
P(x, \ y) = 2xy^2-y, \ Q(x, \ y) = x+y+ y^2 \\\\
\frac{\partial P}{\partial y} = 4xy - 1 \\\\
\frac{\partial Q}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$
czyli równanie nie jest zupełne

Badamy, czy istnieje czynnik całkujący:
$\frac{1}{P(x, \ y)} \cdot [\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}]=\frac{1}{2xy^2-y} \cdot [1- (4xy - 1)]= \\\\
=\frac{1}{y \cdot (2xy-1)} \cdot (1- 4xy +1)=\frac{1}{y \cdot (2xy-1)} \cdot (2- 4xy) = \\\\
=\frac{1}{y \cdot (2xy-1)} \cdot [-2 \cdot (2xy - 1)]=-\frac{2}{y}$

Powyższe wyrażenie nie zależy od x, a więc istnieje czynnik całkujący, który wyraża się równością:
$\mu(y) = exp \int{\frac{1}{P(x, \ y)} \cdot [\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}]}\, dy = exp \int{-\frac{2}{y} }\, dy =\frac{1}{y^2}$

Mnożymy wyjściowe równanie stronami przez czynnik całkujący i otrzymujemy:
$(2x y^2 - y)dx + (x+y+ y^2) dy =0 \ / \cdot \frac{1}{y^2} \\\\
(2x - \frac{1}{y})dx + (\frac{x}{y^2}+\frac{1}{y}+1)dy = 0$

$M(x, \ y) = 2x - \frac{1}{y}, \ N(x, \ y) = \frac{x}{y^2}+\frac{1}{y}+1 \\\\
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y^2} \\\\
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^2} \\\\
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x}$
czyli równanie jest zupełne.

Istnieje funkcja F(x, y) taka, że:
$\left \{ {{\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, \ y)}} \atop {\frac{\partial F}{\partial y} = N(x, \ y)}} \right.$
Stąd:
$\left \{ {{\frac{\partial F}{\partial x} =2x - \frac{1}{y}}} \atop {\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x}{y^2}+\frac{1}{y}+1}} \right.$

Z I równania:
$\frac{\partial F}{\partial x} =2x - \frac{1}{y} \\\\
F(x, \ y) = \int{(2x - \frac{1}{y})}\, dx = x^2 - \frac{x}{y} +C(y) \\\\
\frac{\partial F}{\partial y} =\frac{x}{y^2} +C'(y)$

Podstawiamy do II równania i otrzymujemy:
$\frac{x}{y^2} +C'(y) =\frac{x}{y^2}+\frac{1}{y}+1 \\\\
C'(y) =\frac{x}{y^2}+\frac{1}{y}+1-\frac{x}{y^2} \\\\
C'(y) =\frac{1}{y}+1 \\\\
C(y) = \int{(\frac{1}{y}+1)}\, dy = ln|y| + y + C$

Stąd:
$F(x, \ y) = x^2 - \frac{x}{y} + ln|y| + y + C$

Zatem rozwiązanie równania ma postać:
$x^2 - \frac{x}{y} + y + ln|y| =C$

Pozostaje sprawdzić czy y = 0 jest rozwiązaniem równania wyjściowego:
$\left \{ {{y=0} \atop {x=x}} \right. \Rightarrow \left \{ {{dy=0} \atop {dx=dx}} \right. \\\\
dx \cdot 0 = x \cdot 0 = 0 \\\
0+0 = 0$

Zatem y = 0 jest rozwiązaniem równania.
Przez punkt (x₀, 0) przechodzi tylko prosta y = 0. Rozwiązanie y = 0 zachowuje jednoznaczność, więc jest całką szczególną.

Całka ogólna:
$x^2 - \frac{x}{y} + y + ln|y| =C \ \vee \ y = 0$

2 votes Thanks 0