Sprawdź dowodem niewprost czy podana implikacja jest prawdziwa:a) p^q => p b) p => [(nieprawda, że ".... Question from @rotagila97

November 2018 1 39 Report

Sprawdź dowodem niewprost czy podana implikacja jest prawdziwa:
a) p^q => p
b) p => [(nieprawda, że "q"^q) => r]

Roma A)
$p \wedge q \Rightarrow p$ - zdanie prawdziwe

Dowód nie wprost
Zakładamy, że
$\sim [p \wedge q \Rightarrow p]$ - zdanie prawdziwe

Skorzystamy z prawa zaprzeczenie implikacji:
$\sim[p \Rightarrow q] \iff [p \wedge (\sim q)]$

Stąd:
$\sim [p \wedge q \Rightarrow p] \iff [(p \wedge q) \wedge \sim q]$

czyli
$(p \wedge q) \wedge \sim q$ - zdanie prawdziwe

Zatem:
$[(p \wedge q) \wedge \sim q] = 1 \to (p \wedge q) = 1 \ i \ (\sim q) = 1 \to \\\\
\to p = 1 \ i \ q = 1 \ i \ q = 0$

Sprzeczność: q = 1 i q = 0

Zatem zdanie:
$(p \wedge q) \wedge \sim q$ nie jest prawdziwe, a tym samym nie jest prawdziwe zadania:
$\sim [p \wedge q \Rightarrow p]$
co dowodzi prawdziwości zdania:
$p \wedge q \Rightarrow p$

b)
$p \Rightarrow [(\sim q \wedge q) \Rightarrow r]$ - zdanie prawdziwe

Dowód nie wprost
Zakładamy, że
$\sim (p \Rightarrow [(\sim q \wedge q) \Rightarrow r])$ - zdanie prawdziwe

Skorzystamy z prawa zaprzeczenie implikacji:
$\sim[p \Rightarrow q] \iff [p \wedge (\sim q)]$

Stąd:
$\sim (p \Rightarrow [(\sim q \wedge q) \Rightarrow r]) \iff (p \ \wedge \sim[(\sim q \wedge q) \Rightarrow r] \iff \\\\
\iff (p \ \wedge [(\sim q \wedge q) \ \wedge \sim q])$

czyli
$p \ \wedge [(\sim q \wedge q) \ \wedge \sim q]$ - zdanie prawdziwe

Zatem:
$(p \ \wedge [(\sim q \wedge q) \ \wedge \sim q]) = 1 \to p = 1 \ i \ [(\sim q \wedge q) \ \wedge \sim q] = 1 \to \\\\
\to p = 1 \ i \ (\sim q \wedge q) = 1 \ i \ (\sim q) = 1 \to \\\\
\to p = 1 \ i \ (\sim q) = 1 \ i \ q = 1 \ i \ q = 0 \to \\\\
\to p = 1 \ i \ q= 0 \ i \ q = 1 \ i \ q = 0$

Sprzeczność: q = 1 i q = 0

Zatem zdanie:
$p \ \wedge [(\sim q \wedge q) \ \wedge \sim q]$ nie jest prawdziwe, a tym samym nie jest prawdziwe zadania:
$\sim (p \Rightarrow [(\sim q \wedge q) \Rightarrow r])$
co dowodzi prawdziwości zdania:
$p \Rightarrow [(\sim q \wedge q) \Rightarrow r]$

1 votes Thanks 1