Question

Sprawdź dla jakich liczb naturalnych prawdziwe są następujące nie równości. Uzasadnij metodą indukcji matematycznej
n^2+1<2^(n-1)

Answer 1

Sprawdzam kolejno i najmniejsze n=7 spelnia dana nierownosc.
Nalezy wykazac czy dana nierownosc jest spelniona dla kazdego n≥7.
1.
7²+1<2⁶
50<64
Zalozenie:
n²+1 < 2^{n-1}
Teza dla  n+1
(n+1)²+1 < 2^n
Dowod:
n²+2n+1+1 < 2^n
 z zalozenia
2^{n-1}+2n+1 <2^n
1/2*2^n+2n+1<2^n
2n+1 < 1/2*2^n
2n+1 < 2^{n-1}
Nalezy jeszcze pokazac, ze 
2n+1 < n²+1
n²-2n>0
n(n-2)>0 dla kazdego n≥7
q.e.d.