Question

Sprawdź czy funkcja f(x)=x2−2x+5 i Df:<2,+∞) jest iniekcją i wyznacz jej odwrotność.

Answer 1

Iniekcja to inaczej mówiąc "funkcja różnowartościowa". Różnowartościowość funkcji sprawdza się w następujący sposób:
Bierzemy dwie wartości dla dwóch argumentów, zakładając, że te wartości są równe. Stąd ma nam wyniknąć, że argumenty też są równe (no bo po prostu nie ma innego wyjścia, skoro funkcja jest różnowartościowa).



Iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem. W takim razie:


Pierwsza opcja oczywiście odpada ze względu na dziedzinę: dwie liczby nie mogą w sumie dawać 2, skoro żadna z nich nie jest mniejsza od dwójki. Pozostaje więc druga opcja - argumenty są sobie równe (gdy ich wartości są równe), czyli funkcja faktycznie jest różnowartościowa, q.e.d.

Funkcję odwrotną (do funkcji różnowartościowej) wyznaczamy w ten sposób: we wzorze funkcji zamieniami miejscami iksa z igrekiem, a następnie przekształcamy w ten sposób, żeby z jednej strony był tylko sam igrek:


Pierwiastkujemy stronami, gdyż zarówno argumenty, jak i wartości są dodatnie.


Wzór jest, jeszcze tylko trzeba uzgodnić dziedzinę. Dla wyjściowej funkcji było:
,
więc dziedziną funkcji odwrotnej będzie:
.

Wykresy w załączniku.