Question

Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego alfa, zachodzi równość: (załącznik)

Answer 1

Mamy więc sprawdzić czy tożsamością jest:
1/cosα - cosα/(1+sinα)=tgα
dla α ∈(0;π/2)

spróbujmy sprowadzić lewą stronę do wspólnego mianownika, który będzie wyglądał tak: cosα*(1+sinα):

1/cosα - cosα/(1+sinα) = 1+sinα/cosα(1+sinα) - cos²α/cosα(1+sinα) = (1+sinα-cos²α)/cosα(1+sinα)

z jedynki trygonometrycznej wiemy, że 1=sin²α+cos²α, tak więc:
= (1+sinα-cos²α)/cosα(1+sinα) = (sin²α+cos²α+sinα-cos²α)/cosα(1+sinα) = sin²α+sinα / cosα(1+sinα) = sinα(1+sinα) / cosα(1+sinα) = sinα/cosα = tgα

co należało udowodnić.

Równość zachodzi dla każdego kąta α.