Question

Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

Answer 1

Kelas         : XI
Pelajaran   : Matematika
Kategori     : Program Linear
Kata Kunci : model, sistim pertidaksamaan, fungsi obyektif, fungsi kendala, keuntungan terbesar 

Pembahasan

Banyak pasang sepatu laki-laki = x
Banyak pasang sepatu wanita = y

Daya tampung sepatu paling banyak 400 pasang, membentuk pertidaksamaan x + y ≤ 400 ⇒ membentuk garis lurus yang memotong sumbu x di absis 400 dan memotong sumbu y di ordinat 400

Banyak sepatu wanita di toko paling sedikit 150 pasang, membentuk pertidaksamaan y ≥ 150 ⇒ merupakan garis mendatar (pada gambar terlihat dibuat berwarna merah) yang memotong sumbu y di ordinat 150

Banyak sepatu laki-laki di toko paling sedikit 100 pasang dan tidak boleh melebihi 150 pasang, membentuk pertidaksamaan 100 ≤ x ≤ 150 ⇒ merupakan dua garis vertikal yang memotong sumbu x pada absis 100 dan 150

Fungsi kendala atau disebut juga fungsi obyektif merupakan keuntungan tiap pasang sepatu, yakni Rp 10.000 untuk sepasang sepatu laki-laki dan Rp 5.000 untuk sepasang sepatu wanita.

Selengkapnya, terbentuk model program linear sebagai berikut:
Fungsi obyektif f(x, y) = 10.000x + 5.000y
x + y ≤ 400
y ≥ 150
100 ≤ x ≤ 150
Selanjutnya dibuat garis-garis pada koordinat kartesius seperti pada gambar terlampir. Perhatikan, daerah arsiran merupakan himpunan penyelesaian yang memenuhi sistim pertidaksamaan tersebut.

Keempat titik potong a, b, c, dan d sebagai penentu keuntungan terbesar.
⇒ Titik a(100, 150)
⇒ Titik b(150, 150)
Titik c adalah titik potong garis x + y = 400 dan x = 150. Substitusikan x = 150 ke dalam x + y = 400, diperoleh y = 250
⇒ Titik c(150, 250)
Titik d adalah titik potong garis x + y = 400 dan x = 100. Substitusikan x = 100 ke dalam x + y = 400, diperoleh y = 300
⇒ Titik d(100, 300)

Substitusikan keempat titik ke dalam fungsi obyektif f(x, y) = 10.000x + 5.000y untuk mengetahui keuntungan terbesar
Titik a(100, 150) ⇒ f(100, 150) = 1.750.000
Titik b(150, 150) ⇒ f(150, 150) = 2.250.000
Titik c(150, 250) ⇒ f(150, 250) = 2.750.000
Titik d(100, 300) ⇒ f(100, 300) = 2.500.000

Kesimpulan:
⇒ Keuntungan terbesar adalah Rp 2.750.000
⇒ Agar tercapai keuntungan maksimum, toko menjual 150 pasang sepatu laki-laki dan 250 sepatu wanita