Question

SBMPTN 2016 , mat saintek kode 249 , soal no 15

diket x1, x2 adalah akar" dari persamaan x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0.
nilai a sehingga x1 + x1x2 + x3 maksimum pada interval {-3,3} adalah ...

a) -3
b) -V3
c) 0
d) V3
e) 3

Answer 1

Persamaan kuadrat x² + 5ax + (a³ - 4a + 1) = 0
Memiliki akar-akar x₁ dan x₂
Siapkan jumlah akar-akar dan hasilkali akar-akar

x₁ + x₂ = - b/a = - 5a / 1 = - 5a
x₁ . x₂ = c/a = a³ - 4a + 1

Terdapat bentuk x₁ + x₁x₂ + x₂ yang menjadi x₁ + x₂ + x₁x₂
Selanjutnya x₁ + x₂ + x₁x₂ = a³ - 4a + 1 - 5a
Menjadi x₁ + x₂ + x₁x₂ = a³ - 9a + 1

Sebutlah y = x₁ + x₂ + x₁x₂, atau y = a³ - 9a + 1
Ditanya nilai a sehingga y mencapai nilai maksimum pada interval {-3, 3}.
AplikasI turunan bisa digunakan.

Keadaan stasioner y' = 0. Turunan y terhadap a.
y' = 3a² - 9 = 0
a² - 3 = 0
(a + √3)(a - √3) = 0
a = - √3 atau a = √3

UJI TURUNAN KEDUA
y'' = 6a
Untuk a = - √3 ⇒ y'' = 6(- √3) = - 6√3 < 0
Untuk a = √3 ⇒ y'' = 6√3 > 0

Hasil uji saat y'' (dengan substitusi a hasil y') < 0 merupakan kondisi nilai maksimum fungsi.
Hasil uji saat y'' (dengan substitusi a hasil y') > 0 merupakan kondisi nilai minimum fungsi.

Menentukan nilai-nilai y dari seluruh nilai a (termasuk interval) untuk menentukan nilai a manakah yang menyebabkan y maksimum
Untuk a = - 3 ⇒ y = (- 3)³ - 9(- 3) + 1 = 1
Untuk a = - √3 ⇒ (- √3)³ - 9(- √3) + 1 = -3√3 + 9√3 + 1 = 1 + 6√3 ⇒ maksimum
Untuk a = √3 ⇒ (√3)³ - 9(√3) + 1 = 3√3 - 9√3 + 1 = 1 - 6√3 ⇒ minimum
Untuk a = 3 ⇒ (3)³ - 9(3) + 1 = 1

∴ kesimpulan akhir berdasarkan analisis di atas yaitu, nilai a = - √3 menjadi penyebab bentuk x₁ + x₁x₂ + x₂ mencapai maksimum pada interval {- 3, 3}
__ selesai __