Question

Z wysokości h=2,5m spada kula na sprężystą płaszczyznę poziomą, odbija się

od niej, znów spada itd. Ponieważ kula nie jest doskonale sprężysta, przeto jej prędkość po kazdym odbiciu stale się k=1,1 raza mniejsza od prędkości w chwi-

li uderzenia. Po ilu sekundach ustanie ruch tej kuli? g=9,8m/s2.

Zadanie tylko dla b. zaawansowanych - proszę nie blokować nieodpowiedzialnymi

odpowiedziami. Proszę o tok rozumowania i kolejne etapy obliczeń :)

Answer 1

No to jedziemy z koksikiem :)

najpierw liczę prędkośc pierwszą, na chwilę przed uderzeniem w płaszczyznę za pierwszym razem:

->

Od razu policzę ten czas spadku:

Teraz trzeba zająć się prędkościami, ponieważ Więc mamy ciąg geometryczny, zatem:

Teraz czas wzlotu i później upadku takiej kulki dla n-tej prędkości wynosi:

Teraz suma wszystkich czasów da nam szukany czas:

Answer 2

Po pierwsze zauważamy, że prędkość tuż po odbiciu jest równa prędkości tuż przed kolejnym odbiciem (w zadaniu nie ma nic o oporach ruchu więc zakładam, że je pomijamy), wynika to na przykład z zasady zachowania energii:

Dlatego jedynym momentem w którym kula "traci" swoją prędkość jest moment zderzenia.

 

Pierwszą, rzeczą którą policzymy będzie prędkość kuli tuż przed pierwszym zderzeniem (z zasady zachowania energii):

 

Teraz spytamy się ile czsu mija pomiędzy dwama odbiciami (zakładamy, że prędkość tuż po pierwszym odbiciu wynosi v):

Przez połowę czasu kula leci do góry i traci wtedy całą prędkość.

 

To jest zależnośc pomiędzy numerem odbicia, a prędkością po tym odbiciu:

Niestety, jak widać jest to ciąg geometryczny nieskończony. Bez uwzględnienia opoorów ruchu (a do tego brak danych) w rzeczywistości ruch nigdy nie ustanie. Oczywiście po pewnym czasie będzie na tyle znikomy (tzn. v będzie niezauważalnie małe tak jak czas pomiędzy kolejnymi uderzeniami). Możemy więc wyliczyć szukanyczas w zależności od branej pod uwagę dokładności czyli m, a potem sobie przypomnieć, że umiemy sumować szreg geometryczny:

 

Czas podstawić wartości liczbowe: