Question

Oblicz potencjał grawitacyjny w środku kuli ziemskiej przyjmując, że wewnątrz Ziemi siła ciężkości jest wprost proporcjonalna do odległości od jej środka. Promień Ziemi Rz= 6370 km, przyspieszenie ziemskie g = 9, 8m/s^2

Answer 1

Odpowiedź:

Potencjał grawitacyjny wewnątrz kuli o gęstości jednorodnej jest opisany wzorem:

V(r) = (-3/2)G(M/R^3)*(r^2) + C

gdzie: G - stała grawitacji M - masa kuli R - promień kuli r - odległość od środka kuli C - stała całkowania

Aby obliczyć potencjał grawitacyjny w środku Ziemi, musimy znaleźć wartość stałej całkowania. Wiemy, że na powierzchni Ziemi przyspieszenie ziemskie wynosi 9,8 m/s^2. Możemy użyć tej informacji, aby obliczyć masę Ziemi:

g = G*(M/R^2) M = g*(R^2)/G M = (9.8 m/s^2)(6370 km)^2/(6.6743*10^-11 N(m/kg)^2) M = 5.97*10^24 kg

Teraz możemy obliczyć stałą całkowania:

V(Rz) = (-3/2)G(M/Rz^3)*(Rz^2) + C 0 = (-3/2)G(M/Rz^3)*(Rz^2) + C C = (3/2)G(M/Rz)

Ostatecznie, potencjał grawitacyjny wewnątrz kuli Ziemi wynosi:

V(r) = (-3/2)G(M/Rz^3)(r^2) + (3/2)*G(M/Rz)

Możemy teraz podstawić odpowiednie wartości i obliczyć potencjał grawitacyjny w środku Ziemi, przy r = 0:

V(0) = (-3/2)6.6743*10^-11 N(m/kg)^2(5.97*10^24 kg)/(6370 km)^3(0)^2 + (3/2)6.6743*10^-11 N(m/kg)^2*(5.97*10^24 kg)/(6370 km) V(0) = -8.91*10^10 J/kg

Odpowiedź: Potencjał grawitacyjny wewnątrz Ziemi przyjmując, że wewnątrz Ziemi siła ciężkości jest wprost proporcjonalna do odległości od jej środka, wynosi -8,91*10^10 J/kg.