Question

Rozwiązywanie zadań tekstowych z niewiadomą

ZADANIE.1
Pociąg przewozi 800 ton węgla w 59 wagonach 10-tonowych i 15-tonowych. Ile jest wagonów każdego rodzaju?

ZADANIE.2
Za 9 lat ojciec i syn będą mieli razem 72 lata i ojciec będzie 3 razy starszy od syna. Ile lat mają obecnie?

ZADANIE.3
Stop dwóch metali waży 180 g. Jeden metal traci po zanurzeniu w wodzie 20% wagi początkowej, a drugi 15% wagi początkowej. Ile gramów każdego z metali było w stopie, jeśli po zanurzeniu stracił on na wadze 30 g.

ZADANIE.4
Obwód prostokąta wynosi 60 cm. Jeden z jego boków jest 4 razy dłuższy od drugiego. Oblicz pole prostokąta.

ZADANIE.5
Cena puszki farby została podniesiona o 5% i kosztuje obecnie 63 000 zł. Ile kosztowała farba przed podwyżką?

ZADANIE.6
Gospodarz ma 240 ha pól uprawnych i lasów. Powierzchnia lasów jest o 10 ha mniejsza od 0,25 powierzchni pól uprawnych. Jaką powierzchnię zajmują pola, a jaką lasy?

ZADANIE.7
W kopalni, przy głębieniu szybu, wydobyto 1280 ton urobku, w tym: łupku o 160 ton więcej niż węgla, a piaskowca 4 razy więcej niż łupku i węgla razem. Ile wydobyto łupku, piaskowca i węgla?

ZADANIE.8
W trójkącie równoramiennym miara kąta przy podstawie jest 6 razy mniejsza od miary kąta przy wierzchołku. Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta

ZADANIE.9
Matka ma 27 lat, a córka ma 5 lat. Za ile lat matka będzie 3 razy starsza od córki?

ZADANIE.10
Ojciec z synem razem mają 34 lata. Za 4 lata ojciec będzie pięć razy starszy od syna. Ile lat ma każdy z nich obecnie?

ZADANIE.11
W liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest dwa razy większa od cyfry jedności. Jeśli przestawimy cyfry tej liczby, to otrzymamy liczbę o 36 mniejszą od szukanej. Jaka to liczba?

ZADANIE.12
Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 51. Jakie to liczby?

ZADANIE.13
Różnica dwóch liczb całkowitych wynosi 15, a ich suma 61. Jakie to liczby?

ZADANIE.14
Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 93. Jakie to liczby?

ZADANIE.15
Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 86. Znajdź te liczby

Answer 1

ZADANIE.1
Pociąg przewozi 800 ton węgla w 59 wagonach 10-tonowych i 15-tonowych. Ile jest wagonów każdego rodzaju?

ilość wagonów 15-tonowych: x
ilość wagonów 10-tonowych: 59 – x

10(59 – x) + 15x = 800
590 – 10x + 15x = 800
5x = 800 – 590
5x = 210 /:5
x = 42

ilość wagonów 15-tonowych: x = 42
ilość wagonów 10-tonowych: 59 – x = 59 – 42 = 17

Spr.
42 + 17 = 59
42*15 + 17*10 = 630 + 170 = 800

Odp. Wagonów 15-tonowych jest 42, a 10-tonowych jest 17.

ZADANIE.2
Za 9 lat ojciec i syn będą mieli razem 72 lata i ojciec będzie 3 razy starszy od syna. Ile lat mają obecnie?

Wiek syna obecnie: x
Wiek syna za 9 lat: x + 9
Wiek ojca za 9 lat: 3(x + 9) = 3x + 27
Wiek ojca obecnie: 3x + 27 – 9 = 3x + 18

x + 9 + 3x + 27 = 72
4x + 36 = 72
4x = 72 – 36
4x = 36 /:4
x = 9

Wiek syna za 9 lat: x + 9 = 9 + 9 = 18
Wiek ojca za 9 lat: 3x + 27 = 3*9 + 27 = 27 + 27 = 54

Spr.
18 + 54 = 72
3*18 = 54

Wiek syna obecnie: x = 9
Wiek ojca obecnie: 3x + 18 = 3*9 + 18 = 27 + 18 = 45

Odp. Obecnie ojciec ma 45 lat, a syn 9 lat.

ZADANIE.3
Stop dwóch metali waży 180 g. Jeden metal traci po zanurzeniu w wodzie 20% wagi początkowej, a drugi 15% wagi początkowej. Ile gramów każdego z metali było w stopie, jeśli po zanurzeniu stracił on na wadze 30 g.

Waga stopu dwóch metali: 180 g
Waga pierwszego metalu: x
Waga drugiego metalu: 180 – x
Utrata wagi pierwszego metalu po zanurzeniu w wodzie: 20% * x = 0,2x
Utrata wagi drugiego metalu po zanurzeniu w wodzie: 15%*(180 – x) = 0,15(180 – x) = 27 – 0,15x
Utrata wagi stopu dwóch metali: 30 g

0,2x + 27 – 0,15x = 30
0,2x – 0,15x = 30 – 27
0,05x = 3 /:0,05
x = 60

Utrata wagi pierwszego metalu po zanurzeniu w wodzie: 0,2x = 0,2 * 60 = 12
Utrata wagi drugiego metalu po zanurzeniu w wodzie: 27 – 0,15x = 27 – 0,15 * 60 = 27 – 9 = 18
Waga pierwszego metalu: x = 60 g
Waga drugiego metalu: 180 – x = 180 – 60 = 120 g

Spr.
60 + 120 =180
12 + 18 = 30

Odp. W stopie przed zanurzeniem w wodzie było 60g jednego metalu i 120 g drugiego metalu.

ZADANIE.4
Obwód prostokąta wynosi 60 cm. Jeden z jego boków jest 4 razy dłuższy od drugiego. Oblicz pole prostokąta.

O – obwód prostokąta
P – pole prostokąta
a, b – długość boków prostokąta
O = 60 cm
a = 4b

O = 2a + 2b
60 = 2*4b + 2b
60 = 8b + 2b
10b = 60 /:10
b = 6 cm

a = 4b = 4*6 = 24 cm

Spr.
O = 2a + 2b
O = 2*24 + 2* 6 = 48 + 12 = 60

P = a*b
P = 24 * 6 = 144 cm²

Odp. Pole prostokąta wynosi 144 cm².

ZADANIE.5
Cena puszki farby została podniesiona o 5% i kosztuje obecnie 63 000 zł. Ile kosztowała farba przed podwyżką?

(strasznie droga ta puszka farby :)

cena farby przed podwyżką: x
cena farby po podwyżce: x + 5%*x = x + 0,05x = 1,05x

1,05x = 63000 /:1,05
x = 60000

Spr.
5%*60000 = 3000
60000 + 3000 = 63000

Odp. Przed podwyżką farba kosztowała 60000 zł.

ZADANIE.6
Gospodarz ma 240 ha pól uprawnych i lasów. Powierzchnia lasów jest o 10 ha mniejsza od 0,25 powierzchni pól uprawnych. Jaką powierzchnię zajmują pola, a jaką lasy?

powierzchnia pól i lasów: 240 ha
powierzchnia pól uprawnych: x
powierzchnia lasów: 240 – x

240 – x + 10 = 0,25*x
- x + 250 = 0,25x
- x – 0,25x = - 250
- 1,25x = - 250 /: (-1,25)
x = 200

powierzchnia pól uprawnych: x = 200 ha
powierzchnia lasów: 240 – x = 240 – 200 = 40 ha

Spr.
200 + 40 = 240
0,25*200 = 50
50 – 40 = 10

Odp. Pola uprawne zajmują 200 ha, a lasy 40 ha.

ZADANIE.7
W kopalni, przy głębieniu szybu, wydobyto 1280 ton urobku, w tym: łupku o 160 ton więcej niż węgla, a piaskowca 4 razy więcej niż łupku i węgla razem. Ile wydobyto łupku, piaskowca i węgla?

wydobyty urobek: 1280 t
wydobyty węgiel: x
wydobyty łupek: x + 160
wydobyty piaskowiec: 4*(x + x + 160) = 4*(2x + 160) = 8x + 640

x + x + 160 + 8x + 640 = 1280
10x + 800 = 1280
10x = 1280 – 800
10x = 480 /:10
x = 48

wydobyty węgiel: x = 48 t
wydobyty łupek: x + 160 = 48 + 160 = 208 t
wydobyty piaskowiec: 8x + 640 = 8*48 + 640 = 384 + 640 = 1024

Spr.
48 + 208 + 1024 = 1280
208 – 48 = 160
48 + 208 = 256
4*256 = 1024

Odp. Wydobyto 208 t łupku, 1024 t piaskowca i 48 t węgla.

ZADANIE.8
W trójkącie równoramiennym miara kąta przy podstawie jest 6 razy mniejsza od miary kąta przy wierzchołku. Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta

α - kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego
β – kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego

W trójkącie równoramiennym miara kątów wynosi: 2α + β = 180°

β = 6α
2α + β = 180°
2α + 6α = 180°
8α = 180° /:8
α = 22,5° = 22°30’

β = 6α
β = 6 * 22,5° = 135°

Spr.
2*22,5° + 135° = 45° + 135° = 180°

Odp. Kąty wewnętrzne trójkąta równoramiennego mają miarę: 22°30’, 22°30’, 135°.


ZADANIE.9
Matka ma 27 lat, a córka ma 5 lat. Za ile lat matka będzie 3 razy starsza od córki?

Wiek matki: 27
Wiek córki: 5
x – liczba lat, do momentu, gdy matka będzie starsza 3 razy od córki

27 + x = 3*(5 + x)
27 + x = 15 + 3x
x – 3x = 15 – 27
- 2x = - 12 /: (-2)
x = 6

Spr.
27 + 6 = 33
5 + 6 = 11
3 * 11 = 33

Odp. Matka będzie 3 razy starsza od córki za 6 lat.

ZADANIE.10
Ojciec z synem razem mają 34 lata. Za 4 lata ojciec będzie pięć razy starszy od syna. Ile lat ma każdy z nich obecnie?

obecny wiek ojca: x
obecny wiek syna: 34 – x
wiek ojca za 4 lata: x + 4
wiek syna za 4 lata: 34 – x + 4 = 38 – x

x + 4 = 5*(38 – x)
x + 4 = 190 – 5x
x + 5x = 190 – 4
6x = 186 /:6
x = 31

obecny wiek ojca: x = 31
obecny wiek syna: 34 – x = 34 – 31 = 3

wiek ojca za 4 lata: x + 4 = 31 + 4 = 35
wiek syna za 4 lata: 38 – x = 38 – 31 = 7

Spr.
31 + 3 = 34
5*7 = 35

Odp. Obecnie ojciec ma 31 lat, a syn 3 lata.

ZADANIE.11
W liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest dwa razy większa od cyfry jedności. Jeśli przestawimy cyfry tej liczby, to otrzymamy liczbę o 36 mniejszą od szukanej. Jaka to liczba?

cyfra jedności: x
cyfra dziesiątek: 2x
szukana liczba dwucyfrowa: 2x*10 + x = 20x + x = 21x
liczba dwucyfrowa z przestawionymi cyframi: 10x + 2x = 12x

21x – 12x = 36
9x = 36 /:9
x = 4

cyfra jedności: x = 4
cyfra dziesiątek: 2x = 2*4 = 8
szukana liczba dwucyfrowa: 21x = 21*4 = 84
liczba dwucyfrowa z przestawionymi cyframi: 12x = 12*4 = 48

Spr.
84 – 48 = 36

Odp. Szukana liczba to 84.

ZADANIE.12
Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 51. Jakie to liczby?

n, n + 1, n + 2 – kolejne liczby naturalne

n + n + 1 + n + 2 = 51
3n + 3 = 51
3n = 51 – 3
3n = 48 /:3
n = 16

n = 16
n + 1 = 16 + 1 = 17
n + 2 = 16 + 2 = 18

16 + 17 + 18 = 51

Odp. Szukane liczby to: 16, 17 i 18.

ZADANIE.13
Różnica dwóch liczb całkowitych wynosi 15, a ich suma 61. Jakie to liczby?

x, y – liczby całkowite
x – y = 15
x = 15 + y

x + y = 61
15 + y + y = 61
15 + 2y = 61
2y = 61 – 15
2y = 46 /:2
y = 23

x = 15 + y
x = 15 + 23
x = 38

Spr.
38 – 23 = 15
38 + 23 = 61

Odp. Szukane liczby to: 38 i 23

ZADANIE.14
Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 93. Jakie to liczby?

c, c + 1 – kolejne liczby całkowite

c + c + 1 = 93
2c + 1 = 93
2c = 93 – 1
2c = 92 /:2
c = 46

c = 46
c + 1 = 46 + 1 = 47

Spr.
46 + 47 = 93

Odp. Szukane liczby to: 46 i 47.

ZADANIE.15
Suma dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi 86. Znajdź te liczby

Nie ma takich liczb, bo z dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna liczba jest parzysta i druga nieparzysta, a suma dwóch liczb o różnej parzystości jest liczbą nieparzystą, czyli parzysta + nieparzysta = nieparzysta