Rozwiaz szeregi .......................; ).... Question from @Dassa

December 2018 1 15 Report

Rozwiaz szeregi .......................; )

Paawełek Kryterium Cauchy'ego mówi, aby obliczyć granicę:
$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}=g$
Jeśli g>1 szereg jest rozbieżny
Jeśli g<1 szereg jest zbieżny.
No to przykład a)
$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{2^n}{(4+3n)^n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2}{3n+4}=[\frac{2}{\infty}]=0<1$
Zatem szereg jest zbieżny
przykład b)
$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{2^{n-2} \cdot n^3}{(2n+3)^n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2^n \cdot 2^{-2} \cdot n^3}}{2n+3}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2^n} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{4}n^3}}{2n+3}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2}{2n+3}=\\ =[\frac{2}{\infty}]=0<1$
Jest więc również zbieżny
przykłąd c)
$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{4n^4}{(\sqrt{3})^{n+3}}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{4n^4}}{\sqrt[n]{(\sqrt{3})^n \cdot (\sqrt{3})^3}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}<1$
Zatem również jest zbieżny
przykład d)
$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{(\ln ^3 n)^n}{2n^4}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\ln^3 n}{1}=\lim\limits_{n\to\infty} (\ln ^3 n)= [\ln^3 \infty]=\infty >1$
Zatem szereg jest rozbieżny
przykład e)
$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{(n+14)^{12}}{9^{n^4}}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(9^4)^{n}}}=\frac{1}{9^4} <1$
Zatem szereg jest zbieżny
Przykład ostatni:
$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{6^n+3^n}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{6^n(1+\frac{3^n}{6^n})}}{1}=\lim\limits_{n\to\infty} (\sqrt[n]{6^n} \cdot \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}})=6>1$
Więc jest rozbieżny

Ze wzoru:
$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1 \\ \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^a}=1 \qquad a\in\mathbb{R}$

2 votes Thanks 1