Question

Rozwiąż równanie

Answer 1

2^1 * 2^3  * 2^5 * ...... * 2^(2x - 1) = 64 * 4^(x + 1)

 

2^(1 + 3 + 5 + ...... + 2x -1) = 2^6 * (2^2)^(x  +1)

 

2^(1 + 3 + 5 + ...... + 2x -1) = 2^6 * 2^(2x  +2)

 

2^(1 + 3 + 5 + ...... + 2x -1) = 2^(6 + 2x  +2)

 

1 + 3 + 5 + ...... + 2x -1 = 8 + 2x

1, 3, 5, ......., 2x - 1   ------- ciąg arytmetyczny

r = 3 - 1 = 2

r = 5 - 3 = 2

 

an = a1 + (n - 1) * r

2x - 1 = 1 + (n - 1) * 2

2x - 1 = 1 + 2n - 2

2x - 1 = 2n - 1

2x - 1 + 1 = 2n

2n = 2x

n = x       --------  tyle mamy wyrazów w tym ciągu

 

Sn = [ (a1 + an) / 2 ] * n = [ (1 + 2x - 1) / 2 ] * x = [ 2x / 2 ] * x = x * x = x²

 

1 + 3 + 5 + ...... + 2x -1 = 8 + 2x

x² = 8 + 2x

x² - 2x - 8 = 0

Δ = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

√Δ = 6

x1 = (2 - 6)/2 = -4/2 = -2  

x2 = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4

 

 odp.  x = 4

 

 

 

 

Answer 2

mnozenie poteg o tej samej podst to dodawanie wykladnikow zatem

mamy

2^(1+3+5+...+2x-1)= 4³·4^(x+1)  (*)

wyrazenie : 1+3+5+...+2x-1  to suma ciagu arytmetycznego

a₁=1,  r=2  an=2x-1

an=a₁+(n-1)r

2x-1=1+(n-1)2

2x-1=1+2n-2

2x-1=2n-1

n=x

 x∈N

Sn=(a₁+an)n

         2

1+3+5+...+2x-1 = (1+2x-1)x = x²

                              2

podstawiajac do  (*)

2^(x²)=4^(3+x+1)

2^(x²)=(2²)^(4+x)     "potega potegi to mnozenie wykladnikow"

2^(x²)=2^(8+2x)  

  z roznowart f wykladniczej

x²=8+2x

x²-2x-8=0

a=1   b=  -2  c= -8

Δ=4-4·1(-8)=4+32=36,√Δ=6

x₁=(2+6)/2=8/2=4

x₂=(2-6)/2= -4/2= -2∉N

x= 4