Question

Rozwiąż równania:

1. √(3x+7) - √(x+1) = 2

2. x² + √(x²+20) = 22

3. √(5+x) + √(5-x) = x

Nawias oznacza, że to co jest w nawiasie jest pod pierwiastkiem.

Pełne rozwiązanie (do poniedziałku do 7:00)!

Answer 1

1. 3x+7-x-1=4 2x+6=4/-6 2x=-2 x=-1 2. x^4+x^2+20=22 x^2=t t^2+t+20=22/-22 t^2+t-2+0 delta=9 pierwiastek z delty=3 t1=(-1+3)/2=1 t2=(-1-3)/2=-2 1=t^2 t=1 v t=-1 -2=t^2 sprzecznosć 3. 5+x+5-x=x^2 10=x^2 x=pierwiastek z 10 v x=-pierwistek z 10

Answer 2

Rozwiąż równania:

1. √(3x+7) - √(x+1) = 2    /()²

  [√(3x+7)]² - 2*√(3x+7)*√(x+1) + [ √(x+1) ]² = 2²

  3x +7 -  2*√(3x+7)*√(x+1) + x +1 = 4

           -  2*√(3x+7)*√(x+1)  + 4x +8 =4

           -  2*√(3x+7)*√(x+1) = 4 - 4x -8

           -  2*√(3x+7)*√(x+1) =  - 4x -4      /:(-2)

                 √(3x+7)*√(x+1) =   2x +2      /()²

                [ √(3x+7)*√(x+1)]² = ( 2x +2)²

                  (3x+7)*(x+1)   =  4x² +8x +4

                    3x² + 3x +7x +7 = 4x² +8x +4

                    3x² +10x +7 -4x² - 8x -4 = 0

                    -x² +2x +3 = 0

∆ = b² - 4ac = 2² -4*(-1)*3 = 4 +12 = 16

√∆ = √16 =4

x1= (-b - √∆):2a = (-2 -4):2*(-1) = (-6): (-2) = 3

x2 =(-b + √∆):2a = (-2 +4) : 2*(-1) = 2 : (-2) = -1

 

 

2. x² + √(x²+20) = 22

          √(x²+20) = 22 -x²        /()²

        [√(x²+20) ]² = (22 -x²)²

           x² +20  = 22² - 44x² + x⁴

           x² +20 - 484 +44x² -x⁴ = 0

         -x⁴ + 45x² - 464 = 0

wprowadzam dodatkową niewiadomą

  x² = t

 -t² +45t - 464 = 0

∆ = b² - 4ac =  45² -4*(-1)*(-464) = 2025 - 1856 = 169

√Δ = √169 = 13

t1= (-b - √∆):2a = (-45 - 13) : 2*(-1) = (-58) :(-2) = 29

t2 =(-b + √∆):2a = (-45 +13) : 2*(-1) = (-32): (-2) = 16

 

x² = 29             lub    x² = 16

x² -29 = 0         lub   x² -16 = 0

(x-√29)(x+√29) = 0 , lub (x -4)(x +4) = 0

x-√29 = 0, lub x +√29 = 0, lub x -4 = 0, lub x +4 = 0

x = √29,     lub x = - √29, l ub x = 4,      lub x = -4

 

 

3. √(5+x) + √(5-x) = x     /()²

  [ √(5+x) + √(5-x) ]² = x²

  [√(5+x) ]² + 2*√(5+x)*√(5-x)  + [ √(5-x) ]² = x²

    5 +x + 2*√[(5+x)(5-x)] + 5 -x = x²

               2*√(25 -x²)  +10 = x²

               2*√(25 -x²) = x² -10     /()²

             [ 2*√(25 -x²) ]² = (x² -10)²

               4*(25 -x²) = x⁴ -20x² +100

               100 -4x² =x⁴ -20x² +100

               100 -4x² -x⁴ +20x² -100 = 0

               -x⁴  +16x² = 0

              -x²( x² -16)  = 0

              -x²(x -4)(x+4) = 0

             -x² = 0, lub x -4 = 0, lub x +4 = 0

              x = 0 (II) lub x = 4, lub  x = -4

x = 0(II)   (II) -ozn. że 0 jest podwójnym pierwiastkiem