Rozwiąż równania: Równania kwadratowe z wartością bezwzględną Zadanie 2.300 w załączniku.... Question from @Bednarkowo

Bednarkowo @Bednarkowo

January 2019 1 50 Report

Rozwiąż równania:
Równania kwadratowe z wartością bezwzględną
Zadanie 2.300 w załączniku

Dawid1987Gumis

szkoła średnia

Dział Równania z wartością bezwzględną

Z definicji wartości bezwzględnej (modułu) wiemy, że:

$\vert x \vert =\left\{\begin{array}{l} x \mbox{ dla } x\geq 0\\-x \mbox{ dla } x <0 \end{array}$

$a)$

Rozważmy równanie postaci:

$\vert x^2-4 \vert +\vert x^2-5 \vert =1$

Zauważmy, że w zależności od tego, czy wyrażenie stojące pod modułem jest ujemne czy też nie zależy z jakim równaniem będziemy mieli do czynienia.

Obliczamy pomocniczo:

$x^2-4 = 0\\x^2 = 4 \vert \sqrt{()}\\\vert x \vert = 2\\x=-2 \vee x=2\\\\x^2-5 = 0\\x=-\sqrt{5} \vee x=\sqrt{5}$

Z powyższego widzimy, że należy rozpatrzeć pięć przypadków:

$i)\\x \in (-\infty,-\sqrt{5})\\ii)\\x \in [-\sqrt{5},-2)\\iii)\\x \in [-2, 2)\\iv)\\x \in [2, \sqrt{5})\\v)\\x \in [\sqrt{5}, \infty)$

$ad.\, i)\\(x^2-4) +(x^2-5) =1\\2x^2=10 \vline :2\\x^2=5x\\x=-\sqrt{5} \not \in (-\infty,-\sqrt{5}) \vee x=\sqrt{5} \not \in (-\infty,-\sqrt{5})\\\boxed{x \in \emptyset}\\\\ad.\, ii)\\(x^2-4) -(x^2-5) =1\\x^2-4-x^2+5=1\\1=1\\\boxed{x\in [-\sqrt{5},-2)}$

$ad.\, iii)\\-(x^2-4) -(x^2-5) =1\\-x^2+4-x^2+5=1\\-2x^2=-8 \vline :(-2)\\x^2=4\\x=-2 \in [-2, 2) \vee x=2 \not \in [-2, 2)\\\boxed{x=-2}\\\\ad.\ iv)\\(x^2-4) -(x^2-5) =1\\x^2-4-x^2+5=11=1\\\boxed{x \in [2, \sqrt{5})}$

$ad.\, v)\\(x^2-4) +(x^2-5)=1\\2x^2-9=1\\2x^2=10 \vline :2\\x=-\sqrt{5} \not \in [\sqrt{5}, \infty) \vee x=\sqrt{5} \in [\sqrt{5}, \infty)$

Teraz sumujemy otrzymane rozwiązania:

$\boxed{x \in [-\sqrt{5}, -2] \cup [2, \sqrt{5}]}$

$b)$

Rozważmy równanie postaci:

$\vert x^2-2 \vert = \vert x^2-9 \vert +7$

Zauważmy, że w zależności od tego, czy wyrażenie stojące pod modułem jest ujemne czy też nie zależy z jakim równaniem będziemy mieli do czynienia.

Obliczamy pomocniczo:

$x^2-2=0\\x^2=2\vline \sqrt{()}\\x=-\sqrt{2} \vee x=\sqrt{2}\\x^2-9=0\\x^2=9 \vline \sqrt{()}\\x=-3 \vee x=3$

Z powyższego widzimy, że należy rozpatrzeć pięć przypadków:

$i)\\x \in (-\infty, -3)\\ii)\\x \in [-3, -\sqrt{2})\\iii)\\x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2})\\iv)\\x \in [\sqrt{2}, 3)\\v)\\x \in [3, \infty)$

$ad.\, i)\\(x^2-2) = (x^2-9)+7\\x^2-2=x^2-2\\\boxed{x \in (-\infty, -3)}\\\\ad. \,ii)\\(x^2-2)=-(x^2-9)+7\\x^2-2=-x^2+9+7\\2x^2=18 \vline :2\\x^2=9\\x=-3 \in [-3, -\sqrt{2}) \vee x=3 \not \in [-3, -\sqrt{2})\\\boxed{x =-3}$

$ad.\, iii)\\-(x^2-2)=-(x^2-9)+7\\-x^2+2=-x^2+9+7\\2\not =16\\\boxed{x \in \emptyset}\\\\ad.\, iv)\\(x^2-2)=-(x^2-9)+7\\x^2-2=-x^2+9+7\\x^2-2=-x^2+16\\2x^2=18 \vline :2\\x^2=9\\x=-3 \not \in [\sqrt{2}, 3) \vee x=3 \not \in [\sqrt{2}, 3)\\\boxed{x \in \emptyset}$

$ad. \, v)\\(x^2-2)=(x^2-9)+7\\x^2-2=x^2-9+7\\-2=-2\\\boxed{x\in [3, \infty)}$

Teraz sumujemy otrzymane rozwiązania:

$\boxed{x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)}$

$c)$

Rozważmy równanie postaci:

$\vert x^2-4 \vert = \vert 9-x^2 \vert +5$

Obliczamy pomocniczo:

$x^2-4=0\\x^2=4\\\vert x \vert =2\\x=-2 \vee x=2\\9-x^2=0\\x^2=9\\\vert x \vert =3\\x=-3 \vee x=3$

Z powyższego widzimy, że należy rozpatrzeć pięć przypadków:

$i)\\x \in (-\infty, -3)\\ii)\\x \in [-3, -2)\\iii)\\x \in [-2, 2)\\iv)\\x \in [2,3)\\v)\\x \in [3, \infty)$

$ad.\, i)\\x^2-4=-(9-x^2)+5\\x^2-4=-9+x^2+5\\x^2-4=x^2-4\\\boxed{x \in (-\infty, -3)}\\\\ad.\, ii)\\x^2-4=(9-x^2)+5\\x^2-4=-x^2+14\\2x^2=18\vline :2\\x^2=9\\x=-3 \in [-3, -2) \vee x=3 \not \in [-3, -2)\\\boxed{x =-3}$

$ad.\, iii)\\-(x^2-4)=(9-x^2)+5\\-x^2+4=9-x^2+5\\4\not =14\\\boxed{x \in \emptyset}\\\\ad.\, iv)\\x^2-4=(9-x^2)+5\\x^2-4=9-x^2+5\\x^2-4=-x^2+14\\2x^2=18 \vline :2\\x^2=9\\x=-3 \not \in [2,3) \vee x=3 \not \in [2,3)\\\boxed{x \in \emptyset}$

$ad.\, v)\\(x^2-4)=-(9-x^2)+5\\x^2-4=-9+x^2+5\\-4=-4\\\boxed{x \in [3, \infty)}$

Teraz sumujemy otrzymane rozwiązania:

$\boxed{x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)}$

$d)$

Rozważmy równanie postaci:

$\vert x^2-1 \vert +\vert x^2-16 \vert =3$

Obliczamy pomocniczo:

$x^2-1=0\\x^2=1\\x=-1 \vee x=1\\x^2-16=0\\x^2=16\\x=-4 \vee x=4$

Z powyższego widzimy, że należy rozpatrzeć pięć przypadków:

$i)\\x \in (-\infty, -4)\\ii)\\x \in [-4.-1)\\iii)\\x \in [-1, 1)\\iv)\\x \in [1, 4)\\v)\\x \in [4, \infty)$

$ad.\, i)\\(x^2-1) + (x^2-16)=3\\2x^2-17=3\\2x^2=20 \vline :2\\x^2=10\\x=-\sqrt{10} \not \in (-\infty, -4) \vee x=\sqrt{10} \not \in ( -\infty, -4)\\\boxed{x \in \emptyset}\\\\ad. ii)\\(x^2-1)-(x^2-16)=3\\x^2-1-x^2+16=3\\15=3\\\boxed{x \in \emptyset}$

$ad.\, iii)\\-(x^2-1)-(x^2-16)=3\\-x^2+1-x^2+16=3\\-2x^2=-14\vline :(-2)\\x^2=7\\x=-\sqrt{7} \not \in [-1,1) \vee x=\sqrt{7} \not \in [-1,1)\\\boxed{x \in \emptyset}\\\\ad.\, iv)\\(x^2-1)-(x^2-16)=3\\x^2-1-x^2+16=3\\15=3\\\boxed{x \in \emptyset}$

$ad.\, v)\\(x^2-1)+(x^2-16)=3\\x^2-1+x^2-16=3\\2x^2-17=3\\2x^2=20 \vline :2\\x^2=10\\x=-\sqrt{5} \not \in [4, \infty) \vee x=\sqrt{5} \not \in [4, \infty)\\\boxed{x \in \emptyset}$