Question

Rozwiąż równania dwukwadratowe X (do czwartej) -10x (kwadrat) +9=0 X (do czwartej) -9x (kwadrat)=0 X (do czwartej) - 4x (kwadrat) +4=0

Answer 1

X^4 - 10x² + 9 = 0   Dziedzina r-nia: x∈R
wprowadzam zmienną t=x²
t² - 10t + 9 = 0     
a=1, b= -10, c=9
Δ=b²-4ac= (-10)² - 4*1*9 = 100 - 36 = 64  √Δ=√64=8
Δ>0 , jeżeli delta wyjdzie większa od zera (Δ > 0), to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania:

t1 =  [ -(-10) -  8] / 2*1 = 2/2 = 1    lub
t2 =  [ -(-10) + 8] / 2*1 = 18/2 = 9

wracam do podstawienia  t=x²
t1=1  lub  t2=9
x²=1  lub  x²=9 => x²-9=0  =>  (x-3)(x+3)=0
x=1  lub                                 x=-3  lub  x=3

Odp. R-nie posiada trzy rozw.: x=-3 , x=1 , x=3
------------------------------------------------------------------
x^4 - 9x² = 0       Dziedzina r-nia: x∈R
x² (x² - 9) = 0
x² (x-3) (x+3) = 0
x²=0  lub  x-3=0  lub x+3=0
x=0  lub  x=3  lub  x=-3

Odp. R-nie posiada trzy rozw.: x=-3 , x=0 , x=3
------------------------------------------------------------------
x^4 - 4x² +4 = 0     Dziedzina r-nia: x∈R
wprowadzam zmienną t=x²
t² - 4t + 4 = 0
a=1, b= -4 c=4
Δ=b²-4ac= (-4)² - 4*1*4 = 16 - 16 = 0
Δ=0 , jeżeli delta wynosi zero (Δ = 0), to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.
 (pierwiastek podwójny)  t= -b/2a
t = - ( -4) / 2*1 = 4/2 = 2
wracam do podstawienia  t=x²
x²=2
x²-2=0
(x-√2)(x+√2)=0
x=√2 lub x=-√2

Odp. R-nie posiada dwa rozw.: x1=-√2  lub  x2=√2

Answer 2

Zad 1.
x^4 -10x² + 9 =0    podstawiamy x² = t
t² - 10t + 9 = 0   Δ = 100 - 36 = 64,  √Δ = 8,  t1 = 10 - 8 / 2 = 1,  t2 = 10 + 8 / 2 = 9
zatem  (t - 1)(t - 9) = 0 i wracamy do podstawienia:
(x² - 1)(x² - 9) = 0 i korzystając z wzoru: a² - b² = (a + b)(a - b):
(x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 3) = 0   ---> x = -3 ∨ x = -1 ∨ x = 1 ∨ x = 3

Zad. 2
x^4 -9x² = 0   wyłączamy x² przed nawias i mamy x²(x² - 9) = 0
i również z wzoru na różnicę kwadratów:  x²(x + 3)(x - 3) = 0
x = -3 ∨ x = 0 (pierwiastek podwójny) ∨ x = 3

Zad. 3
x^4 -4x² + 4 = 0         podstawiamy x² = t
t² - 4t + 4 = 0    ---->   Widać, że prawa strona to kwadrat różnicy (wzory skróc. mnożenia):    (t - 2)² = 0   --->  (x² - 2)² = 0 i z wzoru na różnicę kwadratów:
(x  + √2)²(x - √2)² = 0   --->    x = -√2 ∨ x = √2  (oba pierwiastki podwójne)