Question

Rozwiąż nierówności: 1. x²-6x+5≤0
2. x²-18x+81≤0
3.-3x²+2x+5≥0
4 -6x²+2x-π<0
5. x²≥4
6. x²≥-1000
7. 54≥6x²
8. 1-4x²>0
9.2x-x²≤0

Answer 1

1)
x²-6x+5≤0 a=1 b=(-6) c=5
Δ= b²-4ac
Δ=(-6)²-4×1×5
Δ= 16
√Δ = 4
x₁=-b-√Δ/2a
x₁=-(-6)-4/2×1= 1
x₂=-b+√Δ/2a
x₂=-(-6)+4/2×1= 5

rysujemy oś liczbową, zaznaczamy na niej 1 i 5
parabola skierowana ramionami w górę, ponieważ a jest dodatnie. odczytujemy z rysunku, że x∈<1;5>
<>przedział zamknięty, ponieważ w nierówności mamy ≤0
2)
x²-18x+81≤0 a=1 b=-18 c=81
Δ= b²-4ac
Δ=(-18)²-4×1×81
Δ=324-324
Δ=0
przy delcie równej 0 mamy tylko 1 rozwiązanie
x₀=-b/2a = -(-18)/2×1=9
rozwiązaniem tej nierówności jest tylko liczba 9

objaśnienia /kreska ułamkowa

3)
-3x²+2x+5≥0 a=-3 b=2 c=5
Δ= b²-4ac
Δ = 4-4×(-3)×5
Δ = 64
√Δ = 8
x₁=-b-√Δ/2a
x₁=-2-8/2×(-3)= 1⅔
x₂=-b+√Δ/2a
x₂=-2+8/2×(-3)=-1

rysujemy oś liczbową, zaznaczamy na niej -1 i 1⅔
parabola skierowana ramionami w dół, ponieważ a jest ujemne. odczytujemy z rysunku, że x∈<-1;1⅔>
<>przedział zamknięty, ponieważ w nierówności mamy ≥0

4)
-6x²+2x-π<0 a=-6 b=2 c=-π
Δ= b²-4ac
Δ=2²-4×(-6)×(-π)
Δ=4-24π
Δ<0
nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ delta jest ujemna

5)
x²≥4
x²-4≥0 a=1 b=0 c=(-4)
Δ= b²-4ac
Δ=0-4x1x(-4)
Δ=16
√Δ = 4
x₁=-b-√Δ/2a
x₁=0-4/2×1= -2
x₂=-b+√Δ/2a
x₂=0+4/2×1=2

rysujemy oś liczbową, zaznaczamy na niej -2 i 2
parabola skierowana ramionami w górę, ponieważ a jest dodatnie. odczytujemy z rysunku, że x∈<-∞;-2>i<2;+∞>
<>przedział zamknięty, ponieważ w nierówności mamy ≥0


drugi sposób
korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy i mamy
x²-4≥0
(x-2)(x+2)≥0
x-2≥0 lub x+2≥0
x≥2 lub x≥-2
dalszy ciąg taki sam


6)
x²≥-1000 a=1 b=0 c=1000
x²+1000≥0
Δ= b²-4ac
Δ=0-4×1×1000
Δ=-4000

nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ delta jest ujemna.
Można to również odczytać od razu z równania (i wtedy nie trzeba go rozwiązywać), ponieważ kwadrat liczby nie może być liczbą ujemną

7)
54≥6x²
-6x²+54≥0 a=(-6) b=0 c=54
Δ= b²-4ac
Δ=0-4×(-6)×54
Δ=1296
√Δ =36
x₁=-b-√Δ/2a
x₁=0-36/2×(-6)=3
x₂=-b+√Δ/2a
x₂=0+36/2×(-6)=-3

rysujemy oś liczbową, zaznaczamy na niej -3 i 3
parabola skierowana ramionami w dół, ponieważ a jest ujemne. odczytujemy z rysunku, że x∈<-3;3>
<>przedział zamknięty, ponieważ w nierówności mamy ≥0

8)
1-4x²>0
-4x²+1>0 a=(-4) b=0 c=1
Δ= b²-4ac
Δ=0-4×(-4)×1
Δ=16
√Δ =4
x₁=-b-√Δ/2a
x₁=0-4/2×(-4)=½
x₂=-b+√Δ/2a
x₂=0+4/2×(-4)=(-½)

rysujemy oś liczbową, zaznaczamy na niej - ½ i ½
parabola skierowana ramionami w dół, ponieważ a jest ujemne. odczytujemy z rysunku, że x∈(- ½ ; ½)
()przedział otwarty, ponieważ w nierówności mamy >0

9)
2x-x²≤0
-x²+2x≤0
x(-x+2)≤0
x=0 lub -x+2=0
x=0 lub x=2

rysujemy oś liczbową, zaznaczamy na niej 0 i 2
parabola skierowana ramionami w dół, ponieważ a jest ujemne. odczytujemy z rysunku, że x∈<-∞;0>i<2;+∞>
<>przedział zamknięty, ponieważ w nierówności mamy ≤0