Question

Rozwiąż nierówność |x+3|+|3x+9|<|x+5|

daję naj :)

Answer 1

 

1) Dla (*):

 

 

Co razem z warunkiem (*) daje nam sprzeczność, z tego przypadku nie ma żadnych rozwiązań.

 

2) Dla :

 

 

Czyli stąd mamy:

 

3) Dla :

 

 

Czyli:

 

 

Jak zbierzemy to wszystko razem:

 

Answer 2

|x + 3| + |3x + 9| < |x + 5|

|x + 3| + |3·(x + 3)| < |x + 5|

|x + 3| + |3|·|x + 3| < |x + 5|

|x + 3| + 3·|x + 3| < |x + 5|

4·|x + 3| < |x + 5|

 

Z def. wartości bezględnej:

|x + 3| = x + 3  dla x ≥ - 3

|x + 3| = - x - 3 dla x < - 3

 

|x + 5| = x + 5 dla x ≥ - 5

|x + 5| = - x - 5 dla x < - 5

 

Rozpatrujemy trzy przypadki:

1) x ∈ ( - ∞; - 5)

Nierówność ma wtedy postać:

4·(- x - 3) < - x - 5

- 4x - 12 < - x - 5

- 4x + x < - 5 + 12

- 3x < 7 /:(- 3)

x > - ⁷/₃

x > - 2⅓

x ∈ (- 2⅓; + ∞)

 

x ∈ ( - ∞; - 5) n (- 2⅓; + ∞) = Ф

x ∈ Ф

 

2) x ∈ <- 5; - 3)

Nierówność ma wtedy postać:

4·(- x - 3) < x + 5

- 4x - 12 < x + 5

- 4x - x < 5 + 12

- 5x < 17 /:(- 5)

x > - ¹⁷/₅

x > - 3⅖

x ∈ (- 3⅖; +∞)

 

x ∈ <- 5; - 3) n (- 3⅖; +∞) = (- 3⅖; - 3)

x ∈ (- 3⅖; - 3)

 

3) x ∈ <- 3; + ∞)

Nierówność ma wtedy postać:

4·(x + 3) < x + 5

4x + 12 < x + 5

4x - x < 5 - 12

3x < - 7 /:3

x < - ⁷/₃

x < - 2⅓

x ∈ (- ∞; - 2⅓)

 

x ∈ <- 3; + ∞) n (- ∞; - 2⅓) = <- 3; - 2⅓)

x ∈ <- 3; - 2⅓)

 

Ostatecznym rozwiązaniem nierówności jest suma otrzymanych zbiorów:

x ∈ Ф u (- 3⅖; - 3) u <- 3; - 2⅓) = (- 3⅖; - 2⅓)

x ∈ (- 3⅖; - 2⅓)

 

Odp. x ∈ (- 3⅖; - 2⅓)