Question

Rozwiąż nierówność:
x^2 + 2|x| < 3

Answer 1

Zauważmy, że dla dowolnej liczby x zachodzi własność:
.

Podstawmy do naszej nierówności
(#): 
zmienną .

Wtedy nierówność (#) będzie równoważna nierówności:
(*): ,
którą przekształcamy równoważnie, otrzymując kolejno:
.

I teraz mamy parabolę (zmiennej t) o miejscach zerowych -3 oraz 1 i o współczynniku przy  dodatnim - ramiona paraboli skierowane w górę. Zastanawiamy, kiedy leży ona pod osią OX (kiedy przyjmuje wartości ujemne).
Wtedy, gdy:
(W1): t ∈(-3,+1) - przedział otwarty, bo nierówność była nieostra.

Ale z założenia (ponieważ t = |x|) zmienna t przyjmuje wartości wyłącznie nieujemne. Zatem nasz warunek (W1) musimy skorygować i przedstawić go w postaci W2:
(W2): t ∈[0,1) - przedział lewostronnie domknięty, wartość t = 0 jest osiągalna.

Teraz wracamy do zmiennej x.
Wiemy, że
(W3): |x|∈[0,1).

Warunek (W3) jest rónoważmy zapisowi: |x|<1, a to jest równoważne następującemu warunkowi W4:
(W4): -1<x<-1,
czyli
x∈(-1,+1) - przedział obustronnie otwarty.

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności (#) jest przedział (-1,+1)