Question

Rozważmy liczby pięciocyfrowe , w których zapisie każda z cyfr 1,2,3,4,5 występuje dokładnie raz.
a) Ile jest takich liczb mniejszych od 50 000 ?
b) Ile jest takich liczb większych od 13 000 ?

Answer 1

"Liczby pięciocyfrowe, w których zapisie każda z cyfr 1,2,3,4,5 występuje dokładnie raz", czyli cyfry nie mogą się powtarzać.

a)

Każda liczba utworzona z podanych cyfr będzie większa od 50000 jeśli pierwszą cyfrą będzie 5, a mniejsza jeśli pierwszą cyfrą będzie jedna z czterech pozostałych.

Zatem na pierwszą cyfrę mamy 4 możliwe do wyboru.

Na drugą cyfrę również 4 możliwe (bo dowolna z dostępnych pozostałych czterech, oprócz tej wstawionej na początku).

Wykorzystaliśmy już dwie cyfry, więc na trzecią cyfrę zostały nam 3 możliwości.

Czwartą cyfrę wybierzemy z 2 możliwych (bo tylko 2 zostały)

I piątą cyfrą będzie ostatnia, która została, czyli mamy tylko jedną możliwą.

Zatem zgodnie z regułą mnożenia, takich liczb jest:

4·4·3·2·1 = 96

b)

Każda liczba o niepowtarzających się cyfrach, utworzona z podanych pięciu cyfr i zaczynająca się od 13 będzie większa od 13000. Większe będą również liczby zaczynające się od 14, 15, 2, 3, i 4.

Zamiast rozpatrywać te pięć przypadków, łatwiej będzie obliczyć ilość wszystkie możliwych liczb utworzonych z cyfr 1,2,3,4,5:

5·4·3·2·1 = 120

(bo po wybraniu każdej kolejnej, zmniejsza się o 1 liczba dostępnych cyfr)

i odjąć ilość liczb mniejszych od 13000:

Mniejsze będą tylko te z 12 na początku, czyli:

Pierwsza i druga cyfra są konkretnie określone, czili mamy tylko 1 możliwość dla obu z nich.

Trzecią cyfrą będzie jedna z pozostałych 3 możliwych,

czwartą jedna z 2 możliwych,

a piątą ostatnia, która została, czyli 1 możliwość.

Czyli takich liczb będzie: 1·1·3·2·1 = 6

Zatem:

Liczb większych od 13000, w których zapisie każda z cyfr 1,2,3,4,5 występuje dokładnie raz jest:

5·4·3·2·1 - 1·1·3·2·1 = 120 - 6 = 114