Question

Rozważamy dziesięcioelementowe zbiory liczb. Każdą liczbę w zbiorze, która jest iloczynem pozostałych 9 liczb, podkreślamy. Co najwyżej ile liczb może być podkreślonych?

Answer 1

Jeżeli w zbiorze elementy mogą się powtarzać, to w zbiorze {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1} można podkreślić wszystkie.

Jeżeli elementy nie mogą się powtarzać, to
w zbiorze sa liczby parami rozne: e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e10
i e10 = e1*e2*e3*e4*e5*e6*e7*e8*e9
to gdbyby mozna bylo podkreslic jeszcze jakas liczbe poza e10, np e1, to byloby
e1 = e10*e2*e3*e4*e5*e6*e7*e8*e9
a wiec jezeli oznacze M = e2*e3*e4*e5*e6*e7*e8*e9
(oczywiscie M <> 0, bo wtedy e10 = 0 i e1 = 0, a e10 nie moze byc rowne e1)
to
e10 = e1*M i e1 = e10*M wiec
e10 = e10 * M^2
M^2 = 1
M = 1 lub M = -1
ale jeżeli M = 1, to e10 = e1 wiec M <> 1
jednak M może byc -1, np:
w zbiorze {e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,e10} = {123, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, -1/(2*3*4*5*6*7*8), -123} mozna podkreślić 123 i -123
wiec można podkreślić dwie, a czy mozna podkreslić trzy?
wiadomo juz ze mozna podkreslic e1 i e10, sprawdzam, czy mozna podkreslić e2:
e1 = (-1) * e10
e2 * N = -1
e2 = e1* N * e10
wiec
e2 = e1 * (-1/e2) * e10
e2*e2 = (-1)*e10*(-1)*e10
e2*e2 = e10*e10
wiec albo e2 = e10, ale nie moze byc, bo sa parami rozne
albo e2 = - e10, ale wtedy e2 = e1, wiec tez nie moze byc
wiec 3 podkreslania sa niemozliwe,
zatem maksymalnie 2 podkreslenia (w sytuacji, gdy w zbiorze elementy nie maja sie powtarzac)