Question

Rozłóż na czynniki
x⁴ +x³ - 11x² - 9x +18
x⁴- x³- 6x² +4x +8

Answer 1

a)

x^4 + x^3 - 11 x^2 - 9 x + 18

Liczba x = 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu, bo

1 + 1 - 11 - 9 + 18 = 0

zatem dany wielomian jest podzielny przez dwumian  x - 1

Wykonuję to dzielenie:

   x^3 + 2 x^2 - 9 x - 18

------------------------------------

( x^4 + x^3 - 11 x^2 - 9 x + 18 ) : ( x - 1)

 - x^4 + x^3

---------------------------

........ 2 x^3 - 11 x^2

...... - 2 x^3 + 2 x^2

----------------------------------

................ - 9 x^2 - 9 x

.................  9 x^2 - 9 x

-------------------------------------

........................ - 18 x + 18

.......................... 18 x - 18

-------------------------------------

.................................  0

 

Liczba  x = 3  jest pierwiastkiem wielomianu

x^3 + 2 x^2 - 9 x - 18, bo

27 + 18 - 27 - 18 = 0

czyli wielomian  x^3 + 2 x^2 - 9 x - 18  jest podzielny przez  ( x - 3)

 

Wykonuję to dzielenie:

  x^2 + 5x + 6

-------------------------------

( x^3 + 2 x^2 - 9 x - 18 ) : ( x - 3)

- x^3 + 3 x^2

-----------------------

.......  5 x^2 - 9 x

...... - 5 x^2 + 15 x

-----------------------------

................. 6 x  - 18

............... - 6 x  + 18

-------------------------------

........................  0

 

oraz 

  x^2 + 5x + 6 = (x +2)*(x + 3)

Reasumując mamy

x^4 + x^3 - 11 x^2 - 9 x + 18 = ( x -1)*(x -3)*(x+2)*(x + 3)

======================================================

Drugi sposób:

 

x^4 + x^3 - 11 x^2 - 9 x + 18  =

= x^4 + x^3 - 2 x^2 - 9 x^2 - 9 x + 18 =

= x^2 *( x^2 + x - 2)  - 9 *( x^2 + x - 2) =

= ( x^2 -  9)*(x^2 + x - 2) =

= ( x - 3)*(x + 3)*( x +1)*(x - 2)

===============================

 b)

x^4 - x^3 - 6 x^2 + 4 x + 8 =

= x^4 - x^3 -2 x^2 - 4 x^2 + 4x + 8 =

= x^2 *( x^2 - x - 2) - 4*( x^2 - x - 2) =

= ( x^2 - 4)*( x^2 - x -2) =

= ( x -2)*(x +2)*(x +1)*( x - 2)

==============================