Question

Rozłóż na czynniki: x^4-10x^2+9=
Chciałabym, aby ktoś wytłumaczył mi tok rozumowania, nie tylko rozwiązanie.

Answer 1

 x⁴-10x²+9

Rozkładamy jedną z liczb, aby uprościć rozkładanie wielomianu na czynniki:

x⁴-10x²+9=x⁴-x²-9x²+9

Grupujemy ze sobą wyrazy x⁴ i -x² oraz -9x² i 9:

x⁴-10x²+9=x⁴-x²-9x²+9=x²(x²-1)-9(x²-1)

 

Następnie zapisujemy wielomian w postaci czynników (pierwszy z czynników to wyrażenie powtarzające się w nawiasach, czyli x²-1 a drugi z czynników to wyrażenia znajdujące się poza nawiasami):

x⁴-10x²+9=x⁴-x²-9x²+9=x²(x²-1)-9(x²-1)=(x²-1)(x²-9)

 

Obydwa czynniki można rozłożyć za pomocą wzoru skróconego mnożenia 

a²-b²=(a-b)(x+b):

x⁴-10x²+9=x⁴-x²-9x²+9=x²(x²-1)-9(x²-1)=(x²-1)(x²-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)

Wielomian  x⁴-10x²+9 po rozłożeniu na czynniki ma postać: (x-1)(x+1)(x-3)(x+3)

Answer 2

x⁴-10x²+9=0

x²=t

t²-10t+9=0

Δ=b²-4ac=100-4*9=64

√Δ=8

t₁=(-b-√Δ)/2a=(10-8)/2=1

t₂=(-b+√Δ)/2a=(10+8)/2=9

 

x²=1

x²-1=0

wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

(x-1)(x+1)=0

x₁=1  v   x₂=-1

 

x²=9

x²-9=0

(x-3)(x+3)=0

x₃=3  v  x₄=-3

x⁴-10x²+9=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)