Question

Równanie ruchu punktu dane jest w postaci .

Obliczyć:

a) okres drgań

b) maksymalną prędkość ruchu tego punktu

c) jego maksymalne przyspieszenie

Answer 1

równanie ruchu harmonicznego ma postać ogólną:

gdzie A - amplituda, ω - częstość kołowa, φ - faza początkowa

na tej podstawie można od razu odczytać, że:

a)

b) prędkość jest przesunięta w fazie do położenia, jak położenie jest maksymalne, to prędkość jest zerowa i odwrotnie; jak wychylenie wynosi zero to prędkość jest maksymalna;

najprościej można wykazać obecność tej omegi przed cosinusem licząc pochodną, ale można też z zasady zachowania energii:

zatem:

c) przyspieszenie jest natomiast w przeciwfazie do wychyleniem (tylko z minusem)

lub jeszcze inaczej, ze wzoru na siłę:

gdzie stała sprężystości:

zatem maksymalne przysp.

 

pozdrawiam

Answer 2

Odrazu widać, że: A=2 -amplituda sin e<-1;1>

faza początkowa: pi/4

a)szukamy okresu, czyli czasu po którym punkt bedzie w tym samym miejscu, wiemy że okres sinusa to 2pi (czyi f. jest w tym samym pkt co 2pi)

widzimy, że przy t stoi π/2, czyli dla t=0, argument sinusa to π/4,

zgodnie z def. okresu dla sinusa potrzbuje π/4+2π, aby znowu bylo w tym samym miejscu. Wiec szukamy dla jakiego t: πt/2=2π, stąd t=4.

odp: T=4s

b)ze wzoru na V w ruchu drającym:

ale też wiemy że: w=2π/T    ,a okres to 4s

Największą wartość przyjmie gdy cos=1, dzieje się tak dla jego argumentu=0.

liczymy

V=2*2π/4 *1=π cm/s.

c)przyśpieszenie:

a=-Aw²sin(wt+φ), minus bo działa to pkt. równowagi

i tak samo liczymy:

a=-2*4π²/16*1   (*1 bo bierzmy największą wartość sinusa)

a=-π²/2 cm/s^2