Question

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y hallar la suma de las raíces:

Answer 1

Saludos

Hacemos la equivalencia de una expresión a una variable

a = (x + y + 2)^{1/3}
b = (2x - 3y - 7)^{1/2}

tenemos entonces

a - b = -3         (1)
2a + 3b = 14   (2)

Despejo a de (1), queda
a = b - 3     (3)

Reemplazo (3) en (2)
2a + 3b = 14   (2)
2(b- 3) + 3b = 14
2b - 6 + 3b = 14
5b = 14 + 6
b = 20/5
b = 4    (4)

Reemplazo (4) en (1)
a - b = -3         (1)
a - 4 = - 3
a = 4 - 3
a = 1   (5)

Tenemos
a = 1
b = 4

Reemplazamos

a = (x + y + 2)^{1/3} = 1, para ello elevamos al cubo y queda
(x + y + 2) = 1 ^{3}

(x + y + 2) = 1   (6)

Reemplazamos

b = (2x - 3y - 7)^{1/2} = 4, para ello elevamos al cuadrado, queda
(2x - 3y - 7) = 4^{2}
(2x - 3y - 7) = 16   (7)

(x + y + 2) = 1   (6)
(2x - 3y - 7) = 16   (7)

Dos ecuaciones, dos incógnitas

x + y = -1       (6)
2x - 3y = 23   (7)  multiplico por (-2)  (6), queda

-2x - 2y = 2       (6)
2x - 3y = 23       (7)
----------------
0x -5y = 25
y = 25/(-5)
y = -5    (8)

reemplazo (8) en (6)

x + y = -1       (6)
x + (-5) = -1
x = 5 - 1
x = 4

Las respuestas son

x = 4
y = -5

Espero te sirva de ayuda