Question

Ratownik mający stumetrową linę chce przy brzegu plaży wytyczyć dla dzieci kąpielisko w kształcie prostokąta o największym obszarze. Oblicz,jakie wymiary powinno mieć to kąpielisko.

Prosiłabym o rozwiązanie za pomocą funkcji kwadratowej :) Z góry dzięki ;)

Answer 1

znana zasada mówi, że prostokąt o największym polu jest kwadratem, ale oczywiście trzeba to udowodnić, nie wystarczy tak napisać. Skupmy się na zadaniu.

Mamy prostokąt o bokach a i b

Długość liny wynosi 100m, czyli obwód prostokąta 2a+2b=100

czyli a+b=50

a=50-b

interesuje nas pole prostokąta P=a*b

P=(50-b)*b

dostajemy funkcję f(b)=(50-b)*b

f(b) = 50b-b²

f(b) = -b²+50b

ażeby znaleźć ekstremum tej funkcji wyznaczamy jej pochodną

f ' (b) = -2b+50

ekstremum istnieje dla wartosci dla której jeżeli pochodna jest równa 0

, czyli f'(b)=0

-2b+50 = 0

-2b=-50

b = 25

teraz trzeba sprawdzić czy jest to min czy max.

skorzystam z mniej z reguły popularnej w szkołach metody pochodnych wyższych rzędów ( a nie metody porównywania znaków pochodnej) gdyż jest ona prostsza

druga pochodna funkcji f(b) ozn f ' ' (b) istneje i wynosi

f''(b) = -2  (jako pochodna pochodnej)

f''(25) = -2 czyli druga pochodna dla wartości 25 jest mniejsza od zera, a to znaczy, że dla b=25 ta funkcja przyjmuje maksumum

czyli nasze wymiary szukanego prostokąta to b=25, a=50-25=25

czyli kwadrat ;)