En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U.
Ejemplo : Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y un predicado apropiados para definirlo.
(a) El conjunto de los enteros entre 0 y 100.
(b) El conjunto de los enteros positivos impares.
(c) El conjunto de los múltiplos de 10.
Solución
(a) A = {x : x 2 Z ^ x > 0 ^ x < 100} ´o A = {x 2 Z : 0 < x < 100}
(b) B = {x : 9y 2 Z+, x = 2y − 1} ´o B = {x : x = 2y − 1, y 2 Z+}
(c) C = {x : 9y 2 Z, x = 10y} ´o C = {x : x = 10y, y 2 Z}
Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia
Ejemplo: U={x/x es un animal}
A={x/x es un mamífero}
B={x/x es un reptil}
Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: {*}
Ejemplos: Conjunto de los meses del año que terminan en a.
Conjunto de números impares múltiplos de 2.
Conjunto unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de reinta días, solamente febrero pertenece a dicho conjunto.
Conjuntos disjuntos. Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.
Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:
{x/x es un número natural}
{x/x es un día de la semana}
son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.
Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).
Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}
Formemos todos sus subconjuntos: , M={a}, N={b}, P={c}, Q={d}, R={a,c}, T={a,d}, U={b,c}, V={b,d}, X={c,d}, Y={a,b,c}, Z={a,b,d}, L={b,c,d}. El conjunto de las partes de A, es decir (A), será:
p(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}
¿Cuándo dos conjuntos son iguales?
Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son iguales a los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.
Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un número natural} {x/x es un número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un número natural.
Conjunto Universo
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U.
Ejemplo : Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y un predicado apropiados para definirlo.
(a) El conjunto de los enteros entre 0 y 100.
(b) El conjunto de los enteros positivos impares.
(c) El conjunto de los múltiplos de 10.
Solución
(a) A = {x : x 2 Z ^ x > 0 ^ x < 100} ´o A = {x 2 Z : 0 < x < 100}
(b) B = {x : 9y 2 Z+, x = 2y − 1} ´o B = {x : x = 2y − 1, y 2 Z+}
(c) C = {x : 9y 2 Z, x = 10y} ´o C = {x : x = 10y, y 2 Z}
Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia
Ejemplo: U={x/x es un animal}
A={x/x es un mamífero}
B={x/x es un reptil}
Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: {*}
Ejemplos: Conjunto de los meses del año que terminan en a.
Conjunto de números impares múltiplos de 2.
Conjunto unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de reinta días, solamente febrero pertenece a dicho conjunto.
Conjuntos disjuntos. Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.
Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:
{x/x es un número natural}
{x/x es un día de la semana}
son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.
Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).
Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}
Formemos todos sus subconjuntos: , M={a}, N={b}, P={c}, Q={d}, R={a,c}, T={a,d}, U={b,c}, V={b,d}, X={c,d}, Y={a,b,c}, Z={a,b,d}, L={b,c,d}. El conjunto de las partes de A, es decir (A), será:
p(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}
¿Cuándo dos conjuntos son iguales?
Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son iguales a los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.
Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un número natural} {x/x es un número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un número natural.