Question

Pytania.: Z tłumaczeniem proszę :)

Answer 1

121.
Warunek addytywności dla przekształcenia:
F(x+y)=F(x)+F(y)
Rozważmy dwa wektory x[x1,x2] oraz y[y1,y2]

F(x+y)=[ √2(x1+y1)+x2+y2   ;  -x1-y1+√2(x2+y2)]
F(x)=[ √2x1+x2   ;  -x1+√2x2]
F(y)=[ √2y1+y2   ;  -y1+√2y2]
F(x)+F(y)=[ √2x1+x2 + √2y1+y2   ;  -x1+√2x2 -y1+√2y2] = F(x+y)
Przekształcenie spełnia warunek addytywności,
Każde przekształcenie postaci F(x)=[Ax1+Bx2  ;  -Bx1+Ax2] jest złożeniem obrotu wokół punktu (0,0) i pewnej jednokładności o skali k=√(A²+B²) w punkcie (0,0). W powyższym przypadku widać że A=√2, B=1, zatem przekształcenie to jest obrotem czyli nie zmienia kątów między wektorami. Sprawdźmy skalę:
k=√(2+1)=√3, to znaczy że długości wektorów są wydłużane √3 razy.

122.
Warunek mutliplikatywności funkcji:
F(xy)=F(x)F(y)
Mając te same wektory x[x1,x2] oraz y[y1,y2]
xy=x1y1+x2y2 (jest skalarem!)
Ponieważ do dziedziny przekształcenia należą wektory a nie skalary, więc nie można wyznaczyć F(xy), co automatycznie nasuwa na myśl że żadne przekształcenie nie jest multiplikatywne.
A czy jest ono izometrią? Widzimy że podobnie jak poprzednio jest to obrót w połączeniu z symetrią osiową, ale sprawdźmy też skalę k:
k=√(5²+12²)=√(25+144)=√169=13.
Wektory są wydłużane 13 razy, zatem przekształcenie nie jest izometrią.

123.
Przekształcenie dwuwymiarowe jest rzutem gdy wszystkie wektory punkty wynikowe leżą na jednej prostej (lub krzywej). Zwróć uwagę, że pierwsza współrzędna wyniku 0,5x1+0,25x2 jest połową drugiej x1+0,5x2.
Jeśli pierwszą oznaczymy sobie jako t, to całe przekształcenie można zapisać jako F(x)=[t ; 2t]. Generują one prostą(równanie parametryczne prostej).Zatem przekształcenie jest rzutem.