Question

"Punkty P, Q, R są odpowiednio środkami boków AB, BC i CA trójkąta ABC. Wiedząc, że P(1, 4), Q(2, 7), R(-3, 5), wyznacz współrzędne punktów A, B, C." - I Liceum, Matematyka.

Answer 1

P =(1,4) , Q = (2, 7) , R = (-3, 5)

Niech A = (x1;y1) , B = (x2; y2), C = (x3 ; y3)

zatem mamy

[x1 + x2]/2 = 1  oraz  [y1 + y2]/2 = 4 , bo P jest środkiem odcinka AB

[x2 + x3]/2 = 2  oraz  [y2 + y3]/2 = 7, bo Q jest środkiem odcinka BC

[x1 +x3]/2 = -3  oraz  [y1 + y3]/2 = 5 ,bo R jest środkiem odcinka AC

czyli

1) x1 + x2 = 2

2) x2 + x3 = 4

3) x1 + x3 = -6

----------------

od 1) odejmujemy 3)

x2 - x3 =  8

x2 +x3 = 4

------------ dodajemy stronami

2 x2 = 12 / : 2

x2 = 6

=====

x3 = 4 - x2 = 4 - 6 = -2

x1 = -6 -x3 = -6 - (-2) = -6 + 2 = - 4

x1 = -4 ; x2 = 6;  x3 = -2

====================

oraz

4) y1 + y2 = 8

5) y2 + y3 = 14

6) y1 + y3 = 10

od 4) odejmujemy 6)

y2 - y3 = -2

y2 + y3 = 14

-------------- dodajemy stronami

2 y2 = 12 / : 2

y2 = 6

y1 = 8 - y2 = 8 - 6 = 2

y3 = 10 - y1 = 10 - 2 = 8

y1 = 2; y2 = 6;  y3 = 8

======================

Odp. A = (-4;2), B = (6; 6), C = (-2; 8)

==================================