Question

Punkty: P(-3,2), Q(-1,0) i R(1,4) są środkami boków trójkąta ABC. Wyznacz wsółrzędne wierzchołków tego trójkąta oraz równania prostych zawierających jego środkowych. za najlepszą odpowiedź dam naj.

Answer 1

Środek odcinka AB ma współrzędne:   

 

Przyjmując, że P(-3;2) jest środkiem boku AB otrzymujemy:

Czyli:

          

 

Przyjmując, że Q(-1;0) jest środkiem boku BC otrzymujemy:

Czyli:

         

 

Czyli otrzymaliśmy zależności:

 

Przyjmując, że R jest środkiem boku AC otrzymujemy:

Czyli:

         

 

Wstawiając otrzymane wcześniej zależności, mamy:

 

A=(-1;6)    B=(-5;-2)     C=(3;2)

 

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku

W naszym trójkącie środkowe to: AQ, BR i CP

AQ:
A(-1,6),     Q(-1,0):          
Ponieważ oba punkty mają tę samą współrzędną iksową (-1) to znaczy że prosta, która przez nie przechodzi ma równanie: 
AQ:      x = -1

BR:
Jeżeli prosta y=ax+b przechodzi przez punkt P=(x₀,y₀), to współrzędne tego punktu spełniają równanie prostej, czyli prawdziwa jest równość:  y₀=ax₀+b

Jeżeli prosta y=ax+b przechodzi przez dwa punkty to mamy dwa równania:
B(-5;-2):    -2=a·(-5)+b
R(1;4)        4=a·1+b

Ponieważ to jedna prosta, to oba te równania muszą być spełnione jednocześnie, czyli mamy układ równań:
                                                                    
Stąd:
BR:    y = x + 3

CP:
C(3;2),    P(-3;2)
Ponieważ oba punkty mają tę samą współrzędną igrekową (2) to znaczy że prosta, która przez nie przechodzi ma równanie: 
CP:     y = 2

Ilustracja w załączniku.