Question

Punkty A=(2,0) i B=(12,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=x. Oblicz współrzędne punktu C.

Answer 1

Mamy trzy punkty
A=(2,0)
B=(12,0)
C=(x,y), gdzie y=x, czyli C=(x,x)

liczymy boki:
|AB|²=(12-2)²+(0-0)²=100
|BC|²=(x-12)²+(x-0)²=x²-24x+144+x²
|AC|²=(x-2)²+(x-0)²=x²-4x+4+x²

trójkąt ma być prostokątny, więc liczymy pitagorasa
|AB|²=|BC|²+|AC|²
100=4x²-28x+148
4x²-28x-48=0
x²-7x+12=0
delta=49-48=1
x1=(7+1)/2=4
x2=(7-1)/2=3

odp: x=(3,3) i x=(4,4)

Answer 2

A = (2; 0), B = (12;0)
C leży na prostej o równaniu y = x, czyli C = (x, y) = (x; x)
-->
AC = [x -2; x]
-->
BC = [x -12; x}
Wektory AC i BC są prostopadłe, zatem
iloczyn skalarny wektorów AC i BC jest równy 0, czyli
(x -2)*(x -12) + x^2 = 0
x^2 -2x -12 x +24 +x^2 = 0
2 x^2 - 14 x + 24 = 0
x^2 - 7 x + 12 = 0
delta = 49 -4*12 = 1
x1 = [7 -1]/2 = 3 oraz x2 = [7 +1]/2 = 4
y1 = x1 = 3 oraz y2 = x2 = 4
Odp.
C = (3;3) lub C = (4; 4)