Question

Punkty A (1,5) B (14,31) C (4,31) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prosta AB w punkcie D. Oblicz długość odcinka BD?

Answer 1

A = (1;5), B = (14;31),C = (4; 31)

 

Prosta AB:

 y =ax + b

zatem

5 = a*1 + b

31 = a*14 + b

-----------------------

a + b = 5

14a + b = 31

------------------------  odejmujemy stronami

14a - a = 31 - 5

13a = 26 / : 13

a = 2

====

b = 5 - a = 5 - 2 = 3

pr. AB  ma równanie 

y = 2x + 3

================

Prosta  CD zawiera wysokość trójkąta ABC więc jest prostopadła do

pr AB  i przechodzi przez punkt C,

zatem

2*a1 = - 1

a1 = - 1/2 = - 0,5

y = -0,5x + b1 - dowolna prosta prostopadła do pr.AB

Podstawiamy 4 za x  oraz  31 za y :

31 = - 0,5* 4 + b1

31 + 2 = b1

b1 = 33

czyli prosta CD ma równanie

y = -0,5 x + 33

================

Punkt D jest punktem wspólnym tych prostych, zatem rozwiązujemy

układ równań

y = 2x + 3

y = - 0,5 x + 33

----------------------

2x + 3 = -0,5x + 33 / * 2

4x + 6 = - x + 66

4x + x = 66 - 6

5x = 60 / : 5

x = 12

-------

y = 2*12 + 3 = 24 + 3 = 27

--------------------------------

zatem

D = ( 12; 27)

============

Obliczam długość odcinka BD:

I BD I^2 = ( 12 - 14)^2 + (27 - 31)^2 = (-2)^2 + ( -4)^2 = 4 + 16 = 20

I BD I ^2 = 4*5

więc

I BD I = 2 p(5)

=============

============================

p(5)  - pierwiastek kwadratowy z 5