Question

Dane są punkty A =(0,0) B= (4,6) C= (12,-8) Wykaz ze trojkat ABC jest prostokatny i wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trojkacie.

Answer 1

A = (0;0), B = (4; 6), C = (12; -8)

zatem

I AB I^2 = ( 4-0)^2 + (6 - 0)^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 = 4*13

I AC I^2 = (12 - 0)^2 + ( -8 - 0)^2 = 12^2 + (-8)^2 = 144 + 64 = 208 = 16*13

I BC I^2 = (12 - 4)^2 + ( - 8 - 6)^2 = 8^2 + (-14)^2 = 64 + 196 = 260

Ponieważ

52 + 208 = 260

czyli

I AB I^2 + I ACI^2 = I BC I^2

zatem trójkąt ABC jest prostokątny.

BC  - przeciwprostokątna

Mamy

I BC I = p(260) = p(4*5*13) = 2 p(65)

oraz 2r = I BCI = 2 p(65)

r = p(65)  - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC

=========

r^2 = 65

S - środek okręgu

S - środek odcinka BC

S = ( (12+4)/2 ; (-8 +6)/2 ) = ( 8; - 1)

S = ( 8; - 1)

==========

Równanie okręgu opisanego na trójkącie

( x - 8)^2 + ( y + 1 )^2 = 65

==============================

Answer 2

A =(0,0) B= (4,6) C= (12,-8)

 

 

Zatem

czyli na podstawie tw. Pitagorasa trójkąt ABC jest prostokątny. Bok BC to przeciwprostokątna, a boki AB i AC to przyprostokątne.

 

 

 

 

Środek S okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej, a długość promienia R okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi: R = ½·c, gdzie c to długość przeciwprostokątnej.

 

Zatem środek S okregu opisanego na trójkącie ABC to środek boku BC i ma współrzędne:

 

natomiast promień R okregu opisanego na trójkącie ABCma długość:

 

 

Równanie okręgu o środku w punkcie S= (a, b) i promieniu r ma postać:

 

(x - a)² + (y - b)² = r²

 

Zatem równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC ma wzór:

(x - 8)² + (y + 1)² = 65