Question

Proszę o wytłumaczenie funkcji wykładniczych, ponieważ nic z tego nie rozumiem. Najlepiej jak najprościej. I proszę nie kopiować z internetu.

Answer 1

Def. Funkcja wykładniczą nazywamy funkcję f(x)= a ( do potęgi x), gdzie x ∈R ( zbiór liczb rzeczywistych) i a jest ustaloną liczbą dodatnią.
np.
f(x) = 2( do potęgi x)
f(x) = (1/4) do potegi x)
f(x) = (0,3) do potęgi x

Własności funkcji wykładniczej
1). gdy a ∈ (0,1) to funkcja wykładnicza jest malejąca
np. a = 1/2 , natomiast za x podstawiamy kolejno -2,-1,0,1,
f(-2) = (1/2)⁻² = 4
f(-1) = (1/2)⁻¹ = 2
f(0) = (1/2)° = 1
f(1) = (1/2)¹ = 1/2
wykres funkcji przecina zawsze oś OY w punkcie y = 1( dla x= 0)
wykres funkcji nie przecina osi OX

2). gdy a∈(1 +∞) ,to funkcja wykładnicza jest rosnaca
np. a = 2 , natomiast za x podstawiamy kolejno -2,-1,0,1,
f(-2) = 2⁻² = 1/4
f(-1) = 2⁻¹ = 1/2
f(0) = 2° = 1
f(1) = 2¹ = 2
wykres funkcji przecina zawsze oś OY w punkcie y = 1 ( dla x = 0)
wykres funkcji nie przecina osi OX

Każda liczba podniesiona do potęgi zerowej daje jeden
np.
(1/3)° = 1
2° = 1
10° = 1
(-2)° = 1

3). funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie ( tzn. wieksze od zera)

Należy znać działania na potęgach
np. 3⁻² *3³ = 3 ¹
3⁻² : 3³ = 3 ⁻⁵
(3²)⁻³ = 3 ⁻⁶
2³* 3³ = (2*3)³ = 6³
2³ : 3³ = (2/3)³
3⁻² = 1/3²
∛2 = 2( do potegi 1/3)

Równania wykładnicze
2 ( do potęgi x) = 8
2( do potęgi x) = 2³
x = 3
Przy równaniach wykładniczych dązy się go tego, aby po obu stronach równania były takie same podstawy i porównuje sie wykładniki potęg

(1/2) do potegi x) = 16
(1/2) do potegi x) = 2⁴
(1/2) do potegi x) = (1/2)⁻⁴
x = -4


3( do potegi x -2) = 27
3( do potegi x -2) = 3³
x -2 = 3
x = 3 + 2
x = 5

5( do potęgi x² ) = 25( do potęgi 4x-6)
5( do potęgi x² ) = (5²) ( do potegi 4x-6)
Korzystam ze wzoru na potęgę potegi
5( do potegi x²) = 5 [ do potegi 2*(4x-6)]
podstawy potęg sa jednakowe, więc porównuje się wykładniki potęg
x² = 2*( 4x -6)
x² = 8x - 12
x² -8x +12 = 0
Teraz nalezy rozwiązać równanie kwadratowe
Δ = (-8)² -4*1*12 = 64 - 48 = 16
√Δ=√16 = 4
x1 = [-(-8) -4] : 2*1 = (8 -4): 2 = 4 :2 = 2
x2 = [-(-8) +4] : 2*1 = (8 +4): 2 = 12 : 2 = 6

Myślę że to wystarczy do zrozumienia funkcji wykładniczej!
Życzę powodzenia!