Proszę o rozwiązanie zadania z załącznika.... Question from @piotrpodjacki

piotrpodjacki @piotrpodjacki

March 2022 1 15 Report

Proszę o rozwiązanie zadania z załącznika.

adrianpapis

Odpowiedź:

$f_{min}=4\ \text{dla}\ x=-1\\f\nearrow: (-1,0),\ (0,+\infty)\\f\searrow:(-\infty,-2),\ (-2,-1)$

Uwaga: Chcąc podać maksymalne przedziały monotoniczności, podane wyżej przedziały można domknąć w -1.

Szczegółowe wyjaśnienie:

$f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x}$

Założenie:

$x^2+2x\neq 0\\x(x+2)\neq 0\\x\neq 0\land x+2\neq 0\\x\neq 0\land x\neq -2\\D_f=\mathbb{R}-\{-2,0\}$

Policzmy pochodną funkcji.

$f'(x)=\left(\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x}\right)'=\frac{(x^2+2x-3)'*(x^2+2x)-(x^2+2x-3)*(x^2+2x)^'}{(x^2+2x)^2}=\\=\frac{(2x+2)*(x^2+2x)-(x^2+2x-3)*(2x+2)}{(x^2+2x)^2}=\frac{(2x+2)(x^2+2x-x^2-2x+3)}{(x^2+2x)^2}=\frac{3(2x+2)}{(x^2+2x)^2}=\frac{6(x+1)}{(x^2+2x)^2}$ Policzmy miejsca zerowe pochodnej, aby znaleźć argumenty, w których mogą być ekstrema.

$f'(x)=0\\\frac{6(x+1)}{(x^2+2x)^2}=0\ |*(x^2+2x)^2\\6(x+1)=0\\x+1=0\\x=-1$

Sprawdźmy, czy w $x=-1$ jest ekstremum. W tym celu znajdźmy przedziały, w których pochodna jest dodatnia i ujemna.

$f'(x) > 0\\\frac{6(x+1)}{(x^2+2x)^2} > 0\ |*(x^2+2x)^2\qquad\text{bo}\ (x^2+2x)^2 > 0\\6(x+1) > 0\\x+1 > 0\\x > -1\qquad\text{ale}\ x\in D_f\\x\in(-1,0)\cup(0,+\infty)\\f'(x) < 0\\x < -1\qquad\text{ale}\ x\in D_f\\x\in(-\infty,-2)\cup(-2,-1)$

Zatem pochodna w $x=-1$ zmienia znak z ujemnego na dodatni, czyli w jest minimum lokalne wynoszące

$f(-1)=\frac{(-1)^2+2*(-1)-3}{(-1)^2+2*(-1)}=\frac{1-2-3}{1-2}=\frac{-4}{-1}=4$

Pozostały jeszcze przedziały monotoniczności funkcji. Funkcja jest rosnąca tam, gdzie pochodna jest dodatnia, a malejąca tam, gdzie pochodna jest ujemna. Zatem

$f\nearrow: (-1,0),\ (0,+\infty)\\f\searrow:(-\infty,-2),\ (-2,-1)$