Question

Proszę o rozwiązanie :)

Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej i iloczynowej, jeśli wiadomo, że funkcja f spełnia jednocześnie następujące trzy warunki:
-suma miejsc zerowych funkcji wynosi 8
-zbiorem wartości funkcji f jest przedział <4,5;+oo)
-największa wartość funkcji f w przedziale <-3;2> wynosi 20

Answer 1

Mamy

1) =>  x1 + x2 = 8, zatem p = [x1 + x2]/2 = 8/2 = 4

Jeżeli funkcja ma dwa miejsca zerowe, to  zbiorem wartości jest

przedział < - 4,5 ; + nieskonczoność ), a nie podany w tresci zadania

2) =>  q = - 4,5   oraz , że   a > 0

Z 1) i 2 ) => dla x < p = 4  funkcja f maleje oraz  dla x > 4 funkcja f rośnie

Z 3)  W przedziale  < -3; 2 >  funkcja maleje, więc f(- 3) = 20

Mamy więc

y = a*[x - p]^2 + q

Po podstawieniu za  p  oraz q  otrzymamy:

y = a*[x - 4 ]^2 - 4,5

Po podstawieniu za  x  liczby ( -3)  otrzymamy

20 = a*[ -3 - 4]^2 -  4,5

20 = a*(-7)^2 -  4,5

20 = 49 a  -  4,5

49 a = 20 +  4,5 = 24,5

a = 24,5 : 49 = 0,5

zatem

y = 0,5* [ x - 4]^2 - 4,5    - postać kanoniczna  funkcji f

====================

y = 0,5 *[ x^2 - 8x + 16] - 4,5

 

y = 0,5 x^2 - 4x + 3,5   - postać ogólna funkcji  f

====================

delta = 16  -4*0,5*3,5 = 16 - 7 = 9

x1 = [ 4 - 3]/1 = 1

x2 = [ 4 + 3]/1 = 7

y = a*(x - x1)*(x - x2)

 

y = 0,5 *( x -1)*(x - 7)    - postać iloczynowa funkcji f

===================