Question

Proszę o rozwiązanie krok po kroku równania (najlepiej z wyjaśnieniem)

|2x-6|-|x|+|x+4|=2

Answer 1

|2x - 6| - |x| + |x + 4| = 2

A. Rozwiązując takie równanie korzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

Jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zero, możemy opuścić wartość bezwzględną, a jeśli wyrażenie jest ujemne, to opuszczamy wartość bezwzględną zapisując wartość całego wyrażenia ze znakiem minus.

B. Wyznaczamy liczby w jakich zerują się poszczególne wartości bezwzględne:

2x - 6 = 0

2x = 6 /:2

x = 3

x = 0

x + 4 = 0

x = - 4

Dla  - 4, 0, 3 poszczególne wartości bezwzględne są równe zero, zatem otrzymujemy przedziały:

(- ∞; - 4); <- 4; 0); <0; 3); <3; + ∞)

C. Równanie rozwiązujemy w ustalonych przedziałach, zatem rozpatrujemy 4 przypadki.

1) x ∈ (- ∞; - 4)

2x - 6 < 0, czyli |2x - 6|= - 2x + 6

x < 0, czyli |x| = - x

x + 4 < 0, |x + 4| = - x - 4

Dla tego przedziału równanie |2x - 6| - |x| + |x + 4| = 2 ma postać:

(- 2x + 6) - (- x) + (- x - 4) = 2

- 2x + 6 + x - x - 4 = 2

- 2x + 2 = 2

- 2x = 2 - 2

- 2x = 0 /:(- 2)

x = 0

Liczba x = 0 nie należy do przedziału (- ∞; - 4), zatem nie jest rozwiązaniem równania.

x ∈ Ф

2) x ∈ <- 4; 0)

2x - 6 < 0, czyli |2x - 6|= - 2x + 6

x < 0, czyli |x| = - x

x + 4 ≥ 0, |x + 4| = x + 4

Dla tego przedziału równanie |2x - 6| - |x| + |x + 4| = 2 ma postać:

(- 2x + 6) - (- x) + (x + 4) = 2

- 2x + 6 + x + x + 4 = 2

10 = 2

sprzeczność, zatem żadna liczba z przedziału <- 4; 0) nie jest rozwiązaniem równania.

x ∈ Ф

3) x ∈ <0; 3)

2x - 6 < 0, czyli |2x - 6|= - 2x + 6

x ≥ 0, czyli |x| = x

x + 4 > 0, |x + 4| = x + 4

Dla tego przedziału równanie |2x - 6| - |x| + |x + 4| = 2 ma postać:

(- 2x + 6) - (x) + (x + 4) = 2

- 2x + 6 - x + x + 4 = 2

- 2x + 10 = 2

- 2x = 2 - 10

- 2x = - 8 /:(- 2)

x = 4

Liczba x = 4 nie należy do przedziału <0; 3), zatem nie jest rozwiązaniem równania.

x ∈ Ф

4) <3; + ∞)

2x - 6 ≥ 0, czyli |2x - 6|= 2x - 6

x > 0, czyli |x| = x

x + 4 > 0, |x + 4| = x + 4

Dla tego przedziału równanie |2x - 6| - |x| + |x + 4| = 2 ma postać:

(2x - 6) - (x) + (x + 4) = 2

2x - 6 - x + x + 4 = 2

2x - 2 = 2

2x = 2 + 2

2x = 4 /:2

x = 2

Liczba x = 2 nie należy do przedziału <3; + ∞), zatem nie jest rozwiązaniem równania.

x ∈ Ф

D. Rozwiązanie równania |2x - 6| - |x| + |x + 4| = 2 to suma rozwiązań w poszczególnych przedziałach.

x ∈ Ф u Ф u Ф u Ф = Ф

x ∈ Ф

 E. Ostatecznie rozwiązaniem równania |2x - 6| - |x| + |x + 4| = 2 są x ∈ Ф, czyli równanie nie ma rozwiązań.
    

Odp. Równanie nie ma rozwiązań.