Question

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań.
1. z przekształceń w układzie współrzędnych.
Trójkąt o wierzchołkach A =(1,1) B =(2,1) C =(1,2) powiększyć w skali (-3). Obliczyć:punkty, obwody i pola tych trójkątów.
2. Obliczyć proste równoległe i prostopadłe do prostej.
a) y = x +1 gdy A =(1,1)
b) 2x-y+1=0 gdy A =(1,1)

Answer 1

1.
Długość odcinka o końcach A i B, gdzie A i B mają współrzędne A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) wyraża się wzorem: |AB| = √(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

ΔABC to trójkąt prostokątny
A = (1,1)
B = (2,1)
C = (1,2)
|AB| = √(2-1)² + (1-1)² = √1² + 0 = √1 = 1
|AC| = √(1-1)² + (2-1)² = √0 + 1² = √1 = 1
|BC| = √(1-2)² + (2-1)² = √(-1)² + 1² = √1 + 1 = √2
Obw ABC = |AB| + |AC| + |BC| = 1 + 1 + √2 = 2 + √2
P = ½ * |AB| * |AC| = ½ * 1 * 1 = ½

Obrazem punktu A = (x, y) w jednokładności o środku O w początku układu współrzędnych i skali k jest punkt A’ = (kx, ky)

k = – 3
A’ = (-3*1, -3*1) = (-3, -3)
B’ = (-3*2, -3*1) = (-6, -3)
C’ =(-3*1, -3*2) = (-3, -6)
A’B’C’ to trójkąt prostokątny
|A’B’| = √(-6+3)² + (-3+3)² = √(-3)² + 0 = √9 = 3
|A’C’| = √(-3+3)² + (-6+3)² = √0 + (-3)²= √9 = 3
|B’C’| = √(3+6)² + (-6+3)² = √3² + (-3)² = √9 + 9 = √2*9 = 3√2
Obw A’B’C’ = |A’B’| + |A’C’| + |B’C’| = 3 + 3 + 3√2 = 6 + 3√2 = 3(2 + √2)
P = ½ * |A’B’| * |A’C’| = ½ * 3 * 3 = 9/2 = 4½


2.
Proste są równoległe, jeżeli mają ten sam współczynnik kierunkowy a.
Proste są prostopadłe, jeżeli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1 czyli a₁ * a₂ = -1

a) y = x +1 gdy A = (1,1)

Równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = x +1 i przechodzącej przez punkt A = (1,1)
Szukane równanie prostej ma wzór: y = ax + b.
Należy znaleźć a i b.
Ponieważ szukana prosta ma być równoległa do danej prostej to jej współczynnik kierunkowy musi być taki sam jak współczynnik kierunkowy danej prostej, czyli a = 1
czyli teraz szukane równanie ma postać: y = x + b.
Należy znaleźć b, wstawiając do powyższego równania współrzędne punktu A = (1,1)
1 = 1 + b
b = 1 – 1 = 0
Odp. Równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = x +1 i przechodzącej przez punkt A = (1,1) to y = x

Równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = x +1 i przechodzącej przez punkt A = (1,1)
Szukane równanie prostej ma wzór: y = ax + b.
Należy znaleźć a i b.
Współczynnik kierunkowy a liczymy ze wzory:
a₁ * a₂ = -1
1 * a = - 1
a = - 1
czyli teraz szukane równanie ma postać: y = -x + b
Wstawiając do równania współrzędne punktu A = (1,1) znajdziemy b.
1 = -1 + b
b = 1 + 1
b = 2
Odp. Równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = x +1 i przechodzącej przez punkt A = (1,1) to y = -x + 2



b) 2x-y+1=0 gdy A = (1,1)
Najpierw szukamy postaci kierunkowej danej prostej
2x-y+1 = 0
-y = -2x – 1 /*(-1)
y = 2x +1

Równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = 2x +1 i przechodzącej przez punkt A = (1,1)
Szukana prosta: y = ax + b
a = 2
y = 2x + b
A = (1, 1)
1 = 2 + b
b = 1 – 2
b = - 1
Odp. Równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2x-y+1 = 0 i przechodzącej przez punkt A = (1,1) to y = 2x – 1

Równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = 2x +1 i przechodzącej przez punkt A = (1,1)
Szukana prosta: y = ax + b
2 * a = -1 /:2
a = - ½
y = - ½*x + b
A = (1, 1)
1 = - ½ * 1 + b
1 = - ½ + b
B = 1 + ½
b = 1½
Odp. Równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x-y+1 = 0 i przechodzącej przez punkt A = (1,1) to y = - ½x + 1½