Question

Proszę o pełne rozwiązanie wraz z działami.

Answer 1

1)
f(t1,t2) = 0,25*t1^2 +3t1 +0,5t2^2 +4t2

10 wagonów/dzień - zdolność przeładunkowa na bocznicy własnej [szt/dzień]
20 wag/dzień - zdolność przeł. na bocznicy PKP [szt/dzień]
x - ilość wagonów do rozładowania na bocznicy własnej
100-x - ilość wagonów do rozładowania na bocznicy PKP
t1 = x [szt] : 10[szt/dzień] = x/10 dni
t2 = (100-x) [szt] : 20 [szt/dzień] = 5 - x/20 [dni]

f(t1,t2) = 0,25*(x/10)^2 +3*x/10 + 0,5*(5-x/20)^2 + 4*(5-x/20)
f(t1,t2) = 1/4 *x^2/100 + 3/10x + 1/2*(25- 1/2x + x^2/400) + 20 - x/5
f(t1,t2) = f(x) = x^2/400 + 3/10x + 25/2 - 1/4x + x^2/800 + 20 - x/5
f(x) = 2x^2/800 + x^2/800 + 6/20x - 5/20x - 4/20x +25/2 + 40/2
f(x) = 3/800 x^2 - 3/20x + 65/2
Otrzymaliśmy funkcję kwadratową o współczynniku a dodatnim więc funkcja ma minimum w punkcie W = (p,q)

p = -b/2a = 3/20 : (2*3/800) = 3/20 : 3/400 = 3/20 * 400/3 = 400/20 = 20

Jeśli x = 20 (czyli jeśli na bocznicy własnej rozładujemy 20 wagonów a na bocznicy PKP 100-20 = 80 wagonów) koszt będzie najmniejszy.

2

Czas rozładunku na bocznicy własnej 20 wgonów przy zdolności 10 szt/dzień
wynosi 20 [szt] : 10[szt/dzień] = 2 dni
Czas rozładunku 80 wagonów na bocznicy PKP przy zdoności 20 szt/dzień wynosi 80 [szt] : 20 [szt/dzień] = 4 dni

3

Jak widać pociąg może odjechać dopiero po rozładunku wszystkich wagonów ( rozumiem, że formujemy skład po rozładowaniu wagonów z obu bocznic - tak sugeruje zadanie), czyli po 4 dniach. Czas t1 = t2 = 4
f(4,4) = 0,25*4^2+3*4+0,5*4^2+4*4 = 0,25*16 + 12 + 0,5*16 + 16 = 4 +12 + 8 + 16 = 40 tyś

Gdyby wagony mogły opuścić bocznice od razu po rozładowaniu ten koszt będzie mniejszy , gdyż na bocznicy własnej szybciej rozładują wagony:
Będzie równy wartości funkcji f(x) dla wartości x = 20
q = f(p) = f(20) = 3/800*20^2 - 3/20*20 + 65/2 = 3/800 * 400 -  3 + 65/2 = 3/2-3+65/2 = 68/2-3 =34-3 = 31 tyś