Question

Proszę o dokładne wytłumaczenie wzorów na an i Sn ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

Answer 1

Ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1  i różnicy r

 

an = a1 + ( n -1)*r

==============

Sn = 0,5 *( a1 + an)*n

===================

np.  mamy  ciąg :

1, 4,7,10, ....

czyli  jest to ciąg arytmetyczny o  pierwszym wyrazie

a1 = 1   oraz  różnicy    r =  4 - 1 = 3

zatem

a10 = a1 + ( 10 - 1)*r = a1 + 9 r = 1 + 9*3 = 1 + 27 = 28

rzeczywiście

a10 = 28, bo  mamy

1,4,7,10,13,16,19,22,25,28

------------------------------------------

Suma tych dziesięciu wyrazów jest równa

S10 = 0,5 *( a1 + a10)*10 = 5*( 1 + 28) = 5*29 = 145

=========================================

Ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie  a1  i  ilorazie  q

 

an = a1*q^{ n - 1)

===============

          a1* ( 1 - q^n)

Sn = -------------------

              1  - q

 

==================

np.  Mamy ciąg  :  1 ,2,4,8,16, ....

czyli

a1 = 1  oraz  q = 2

Obliczmy  dziesiaty wyraz tego ciągu

a10 = a1*q^( 10 -1) = a1*q^9 = 1* 2^9 = 512

 

oraz  S10

             a1 *( 1 - q^10)        1*( 1 -  2^10 )            1 -  1024

S10 =  --------------------  =   -------------------  =   ---------------  = 1024 - 1 = 1023

                  1 - q                          1 - 2                          - 1