Question

Prosta k przechodzi przez punkt A=(3,2) i przecina dodatnie półosie układu współrzędnych w takich punktach, że iloczyn ich odległości od punktu (0,0) wynosi 25. Znajdź równanie prostej k

Answer 1

 Niech prosta k ma równanie:

 y = ax+b,  dla a,b e R 

 

Ponieważ prosta k przechodzi przez punkt A=(3,2), więc: 

2 = 3a+b

 

Punkt przecięcia z osią OX (y = 0):

0 = ax+2-3a

-ax + 2-3a

ax = 3a-2  

x = (3a-2)/a

A=[(3a-2)/a; 0]

 

Punkt przecięcia z osią OY (x = 0)

y = a* 0 +2-3a

y = 2-3a

B=(0; 2-3a)

 

Odległość punktu A od (0,0) wynosi (3a-2)/a

Odległość punktu B od (0,0) wynosi 2-3a

Iloczyn tych odległości wynosi 25, zatem

(3a-2)/a *(2-3a) = 25 

 

Mamy układ równań: 

2 = 3a+b  => b = 2-3a 

[(3a-2)/a] *(2-3a) = 25  I*a 

 

(3a-2)(2-3a) = 25a 

6a-9a^2 -4+6a = 25a 

-9a^2 -13a-4 = 0  *(-1) 

9a^2 + 13a - 4 = 0

D(delta) = 169-144 = 25 

VD = 5 

a1 = (-13-5)/18 = -1    v      a2 = (-13+5)/18 = -4/9 

b1 = 2-3*(-1) = 5         v      b2 = 2-3*(-4/9) = 10/3

 

Mamy zatem 2 proste o równaniach: 

k1 :  y = -x + 5

k2:   y = -4/9x + 10/3