Question

1.Punkt A=(1,-1) jest wierzchołkiem kwadratu opisanego na okręgu . Znajdź pozostałe wierzchołki kwadratu.

2.Jak znaleźć równanie prostej nachylonej do innej prostej(np y=2x+1) pod kątem a(30,45,60), w układzie współrzędnych.

Answer 1

z.1

A = (1; - 1)

x^2 + y^2 - 4y - 1 = 0

Zapisujemy inaczej równanie okręgu

( x - 0)^2 + ( y - 2)^2 - 4 - 1 = 0

( x - 0)^2 + ( y - 2)^2 = 5

--------------------------------

Zatem S =  ( 0; 2)  - środek danego okręgu

 

Prosta AS:

y = a x + b

-1 = a + b

2 = 0*a + b   => b = 2

----------------------

1 = a + 2

a = - 3

------------

y = - 3 x + 2  - równanie prostej  AS

==========

Równanie prostej prostopadłej do pr AS przechodzącej przez S

-3 *a2 = - 1

więc

a2 =  1/3

y = (1/3) x + b2

2 = (1/3)*0 + b2

b2 = 2

y = (1/3) x + 2

=================

 

Punkt  S jest środkiem odcinka AC

Niech  C = (x1; y1)

zatem

( 1 + x1)/2 = 0   i  ( -1 + y1)/2 = 2

1 + x1 = 0          i    - 1 + y1 = 4

x1 = - 1             i          y1 = 5

więc

C = ( -1 ; 5)

===========

I AS I^2 = ( ( 0 -1)^2 + (2 - (-1))^2 = 1 + 9 = 10

Równanie okręgu o środku S  przechodzącego przez punkty A i C :

( x - 0)^2  + ( y - 2)^2 = 10

Prosta o równaniu

y = (1/3) x + 2   przecina okrąg  o równaniu  ( x - )^2 = ( y - 2)^2 = 10

w punktach B  i  D

Znajdujemy te punkty:

x^2 + ( y - 2)^2 = 10

y = (1/3) x + 2

------------------------

x^2 + (  ( 1/3) x + 2 - 2)^2 = 10

x^2 + (1/9) x^2 = 10

( 10/9) x^2 = 10

(1/9) x^2 = 1

x^2 =  9

x = - 3  lub  x = 3

---------------------

y = (1/3)*(-3) + 2 = 1    lub  y = ( 1/3)*3 + 2 = 3

----------------------------------------------------------

zatem

B = ( 3; 3)   oraz  D = ( -3; 1 )

Odp.

B = ( 3; 3), C = ( -1 ; 5),  D = ( -3; 1)

=====================================

z.2

 

 Załączniki: