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Ambicioso

21. Un trapecio ABCD está inscrito en una circunferencia de radio R. La base mayor es AB=a, la base menor CD=b y el ángulo CAB   30º . Demuestra que 2 2 3 a b ab R    Solución El trapecio ha de ser isósceles, ya que por ser cíclico DAB BCD   180º  y por ser trapecio 180º   BCD ABC  . Por tanto, el trapecio es simétrico con respecto al eje que une los puntos medios de las bases F y G. ACD CAB    30º (alternos internos entre paralelas) El triángulo EGC es un 30º-60º-90º, por lo que 3 2 2 3 b b GC GE GE     Por la misma razón, en el triángulo AFE: 2 3 a EF  La altura h del trapecio es, por tanto, 2 3 a b h GF    Siendo O el centro de la circunferencia circunscrita, BOC  60º , por ser central con el mismo arco que el inscrito CAB   30º Pero el triángulo COB es isósceles, pues OC OB R   , por tanto ha de ser equilátero. Así BC OB OC R    Si D’ es la proyección ortogonal de D sobre AB tenemos que ' 2 a b AD   . Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo AD D' : 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 4 4 . . . 12 4 12 3 a b a b a b ab a b ab R c q d           PROPUESTA 1 Si CAB  es un ángulo agudo cualquiera  , hallar R en función de a b y ,  . Solución Procederíamos de forma análoga usando un poco de trigonometría: 2 a b h tg   y BC AD R sen   2  , con lo cual:     2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 a b a b a b tg a b R sen tg R sen    
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 ¿Cómo pueden hacer frente al cambio climático?
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