Question

21. Un trapecio ABCD está inscrito en una circunferencia de radio R. La base mayor es AB=a, la base
menor CD=b y el ángulo CAB   30º . Demuestra que
2 2
3
a b ab R
 

Solución
El trapecio ha de ser isósceles, ya que por ser cíclico DAB BCD   180º  y por ser trapecio
180º   BCD ABC  . Por tanto, el trapecio es simétrico con respecto al eje que une los puntos
medios de las bases F y G. ACD CAB    30º (alternos internos entre paralelas)
El triángulo EGC es un 30º-60º-90º, por lo que 3
2 2 3
b b GC GE GE    
Por la misma razón, en el triángulo AFE:
2 3
a
EF 
La altura h del trapecio es, por tanto,
2 3
a b h GF 
 
Siendo O el centro de la circunferencia circunscrita,
BOC  60º , por ser central con el mismo arco que el
inscrito CAB   30º
Pero el triángulo COB es isósceles, pues OC OB R   ,
por tanto ha de ser equilátero. Así BC OB OC R   
Si D’ es la proyección ortogonal de D sobre AB tenemos que
'
2
a b AD 
 . Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo AD D' :

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 4 4
. . .
12 4 12 3
a b a b a b ab a b ab R c q d      
   
PROPUESTA 1
Si CAB  es un ángulo agudo cualquiera  , hallar R en función de a b y ,  .
Solución
Procederíamos de forma análoga usando un poco de trigonometría:

2
a b h tg

 y BC AD R sen   2  , con lo cual:

   
2 2 2 2 2
2 2 2 4
2 2 4
a b a b a b tg a b
R sen tg R
sen

 


Answer 1

Respuesta:

shsvvsvahakqjajsbsbsbshshsv