Question

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem,którego przekątna o długości 8 tworzy z bokiem równym wysokości walca kąt o mierze 60 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.

Answer 1

Oznaczmy przekątną prostokąta przez d, a kąt przez α.
W obliczeniach korzystamy z trójkąta prostokątnego o bokach:
d = 8 przekątna prostokąta (przeciwprostokątna w trójkącie),
h - wysokość walca
(przyprostokątna w trójkącie leżąca przy kącie α = 60⁰),
l - drugi bok prostokąta
(przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α = 60⁰)

Obliczamy wysokość walca h:
cos α = h/d
cos 60⁰ = h/8, cos 60⁰ = ½
h = cos 60⁰* 8 = ½* 8 = 4

Obliczamy drugi bok prostokąta l (bok ten jest obwodem podstawy walca - obwód koła):
sin α = l/d
sin 60⁰ = l/8, sin 60⁰ = √3/2
l = sin 60⁰* 8 = √3/2* 8 = 4√3
l = 2πr = 4√3
4√3=2πr /:(2π)
r =(4√3)/2π

Obliczamy objętość walca:
V = πr²h = π *((4√3)/2π)²*4 = 4π*48/4π² = 48/π
(4√3)² = 4√3*4√3 = 16*3 = 48

Obliczamy pole powierzchni całkowitej walca.
P = 2 πr² + 2πrh = 2*π *((4√3)/2π)² + 4√3*4 =
2π*48/4π² + 16√3 = 24/π +16√3

Odp. Objętość walca wynosi 48/π,
a pole powierzchni całkowitej 24/π +16√3.