Question

Potrzebuję odpowiedzi na dwa zadania, odpowidzi mają być jasne i zrozumiałe + rysunek. Z góry dziękuję ;]

Answer 1

Zadanie 3.

http://img31.imageshack.us/img31/48/graniastoslup.jpg

Na początku możemy wyliczyć długości boków podstawy z twierdzenia pitagorasa układając parę równań. Mamy dane przekątne ścian bocznych, więc zajmiemy się najpierw ścianami bocznymi.

Przyjmijmy, że a i b są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego czyli podstawy tego graniastosłupa, a c jest przeciwprostokątną. H będzie wysokością tego graniastosłupa.

Pokolorowałem przekątne na rysunku tak, że niebieska przekątna d₁=6cm, czerwona d₂=5cm, zielona d₃=4cm.

Wyliczmy najpierw przeciwprostokątną c. Patrzymy na trójkąt BCC' z niebieską przekątną, z twierdzenia pitagorasa:

c²+H²=d₁²

c²=6²-H²

c=√(36-√H²)

Teraz przyprostokątną a, patrząc na trójkąt BAA':

a²+H²=d₂²

a²=5²-H²

a=√(25-H²)

I druga przyprostokątna b, patrząc na trójkąt CAA':

b²+H²=d₃²

b²=4²-H²

b=√(16-H²)

Każdy bok ma jedną niewiadomą, więc można ją obliczyć stosując twierdzenie pitagorasa w podstawie tego graniastosłupa, z Δ ABC:

a²+b²=c²

Podstawiając pod wczesniejsze wyniki:

[√(25-H²)]²+[√(16-H²)]²=[√{36-H²)]²

ponieważ jest kwadrat z pierwiastka, pierwiastki redukują się.

25-H²+16-H²=36-H²

-2H²+41=-H²+36 |+H²

-H²+41=36 |-41

-H²=-5|*(-1)

H²=5

H=√5

I teraz podstawiamy H pod wzory na a, b i c:

a=√(25-H²)

a=√(25-√5²)

a=√(25-5)

a=√20

 

b=√(16-H²)

b=√(16-5)

b=√11

 

c=√(36-√H²)

c=√(36-5)

c=√31

 

V=Pp*H

Pp=½*a*b=½*√20*√11=½√220=½√4*55=√55cm²

V=√55*√5=√275=√11*√25=5√11cm³

 

Zadanie 4. Tak jak pisałem Ci na pw rozwiążę to zadanie na 2 sposoby, ponieważ raczej nie ma czegoś takiego jak graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie rombu, a także nie ma czegoś takiego jak przekątna ostrosłupa.

I. Według zadania przyjmując przekątną ściany bocznej za wysokość ściany bocznej ostrosłupa

http://img41.imageshack.us/img41/7404/ostroslup.jpg

tak jak na rysunku:

zielona przekątna --> d₁=6√2cm

czerwona przekątna --> d₂=8√2cm

niebieska wysokość ściany bocznej --> h=20cm

 

liczymy bok rombu a (romb ma wszystkie boki równe)

trójkąt AOB (mamy w nim dane połowę przekątnej czerwonej i połowę zielonej)

z tw. pitagorasa:

(½d₁)²+(½d₂)²=a²

///////////////////////////////////

½d₁=½*6√2=3√2

½d₂=½*8√2=4√2

///////////////////////////////////

(3√2)²+(4√2)²=a²

9*2+16*2=a²

32+18=a²

a²=50

a=5√2

 

Teraz policzymy krawędź ściany bocznej b, aby potem obliczyć wysokość ostrosłupa.

Trójkąt BES, z tw. pitagorasa:

h²+(½a)²=b²

///////////////////////

½a=½*5√2=5√2/2cm

///////////////////////

20²+(5√2/2)²=b²

400+25*2/4=b²

400+25/2=b²

800/2+25/2=b²

b=√825/√2

b=5√33/√2=5√66/2cm

a teraz z trójkątąta BOS. z tw. pitagorasa:

(½d₁)²+H²=b²

H²=(5√66/2)²-(3√2)²

H²=25*66/4-9*2

H²=825/2-18

H²=825/2-36/2

H=√789/√2=√1578/2cm

 

Pc=Pp+Pb

Pp=½d₁*d₂=½*6√2*8√2=48cm²

Pb=4*½*a*h=4*½*5√2*20=200√2cm²

Pc=48+200√2cm²

 

V=⅓Pp*H=⅓*48*√1578/2=8√1578cm³

 

A teraz obliczę Ci jakby to wyglądało jako graniastosłup, co jest bardziej prawdopodobne.

II. http://img338.imageshack.us/img338/3237/graniastoslupp.jpg

Tak samo 2 przekątne w podstawie:

zielona przekątna podstawy --> d₁=6√2cm

czerwona przekątna podstawy --> d₂=8√2cm

oraz przekątna ściany bocznej:

niebieska przekątna ściany bocznej --> d₃=20cm

bok podstawy wyjdzie ten sam:

(3√2)²+(4√2)²=a²

9*2+16*2=a²

32+18=a²

a²=50

a=5√2cm

 

Teraz liczymy wysokość graniastosłupa H patrząc na trójkąt BCC'. z tw. pitagorasa:

a²+H²=d₃²

H²=d₃²-a²

H²=20²-(5√2)²

H²=400-50

H²=350

H=√25*√14

H=5√14cm

 

Pc=2Pp+Pb

Pp=½d₁*d₂=½*6√2*8√2=48cm²

Pb=4*a*H=4*5√2*5√14=100√28=100√4*√7=200√7cm²

Pc=2*48+100√7=96+100√7cm²

 

V=Pp*H=48*5√14=240√14cm³