Question

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna tej bryły tworzy z płaszczyzną kąt a=30 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa, jeżeli pole powierzchni bocznej wynosi 72√6 cm2. Z góry dziękuję ;]

Answer 1

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.
a - krawędź podstawy graniastosłupa
h - wysokość graniastosłupa
D - przekątna graniastosłupa
d - przekątna podstawy
Pc - pole całkowite graniastosłupa
Pp - pole podstawy
Ppb - pole powierzchni bocznej
V - objętość graniastosłupa
kąt α - kąt jaki tworzy przekątna tej bryły z płaszczyzną podstawy
α = 30°
Ppb = 72√6 cm²
d = a √2 (przekątna kwadratu o boku a - z tw. Pitagorasa: d² = a² + a², d² = 2a², d = √2a², d = a√2)
tg 30° = h / d
√3/3 = h/a√2 ( z proporcji)
3*h = √3*√2*a
3*h = √6*a /:3
h = √6*a / 3
Ppb = 4*a*h
Ppb = 72√6 cm²
4*a*h = 72√6 /:4a
h = 72√6 / 4a
h = 18√6 / a
h = √6*a / 3 ( z wcześniejszych wyliczeń)
√6*a / 3 = 18√6 / a /: √6
a / 3 = 18 / a ( z proporcji)
a * a = 3 * 18
a² = 54
a = √54
a = √9*6 = 3√6 cm
h = 18√6 / a
h = 18√6 / 3√6 = 6 cm

Pc = 2*Pp + Ppb
Pc = 2*a² + 4*a*h
Pc = 2*(3√6)² + 72√6 = 2*9*6 + 72√6 = 108 + 72√6 = 36*(3 + 2√6) cm²

V = Pp*h
V = a²*h
V = (3√6)²*6 = 9*6*6 = 324 cm³